数学物理导论/向量空间的对偶

向量空间的对偶

定义

令 $E$ 为在交换域 $K$ 上的向量空间。向量空间 ${\mathcal {L}}(E,K)$ 表示对 $E$ 的线性泛函的向量空间，称为 $E$ 的对偶空间，记作 $E^{*}$ 。

当 $E$ 的维数有限时， $E^{*}$ 也具有有限维数，其维数等于 $E$ 的维数。如果 $E$ 的维数是无穷的， $E^{*}$ 也是无穷维的，但这两个空间并不同构。

章节

张量

在本附录中，我们介绍物理学中张量\index{张量}的基本概念。更多信息可以在（[#References|参考文献]）中找到。令 $E$ 为一个有限维向量空间。令 $e_{i}$ 为 $E$ 的一个基。向量 $X$ 在 $E$ 中可以用其在基 $e_{i}$ 上的坐标 $x^{i}$ 来表示

X=x^{i}e_{i}

在本章中将使用重复指标约定（或**爱因斯坦求和约定**）。它认为两个具有相同指标的量的乘积对应于对该指标的求和。例如

x^{i}e_{i}=\sum _{i}x^{i}e_{i}

或者

a_{ijk}b_{ikm}=\sum _{i}\sum _{k}a_{ijk}b_{ikm}

对于向量空间 $E$ 存在一个空间 $E^{*}$ ，称为 $E$ 的对偶空间。 $E^{*}$ 中的元素是 $E$ 上的 *线性形式*: 它是一个线性映射 $p$ ，将 $E$ 中的任何向量 $Y$ 映射到一个实数。 $p$ 由一组数字 $x_{i}$ 定义，因为 $E$ 上线性形式的最一般形式是

p(Y)=x_{i}y^{i}

$E^{*}$ 的基底 $e^{i}$ 可以由以下线性形式定义

e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}

其中， $\delta _{i}^{j}$ 当 $i=j$ 时为1，否则为0。因此，对于 $E$ 中每个分量为 $x^{i}$ 的向量 $X$ ，都可以在 $E^{*}$ 中关联一个对偶向量，其分量为 $x_{i}$

X=x_{i}e^{i}

量

|X|=x_{i}x^{i}

是一个不变量，它与所选的基底无关。另一方面，向量 $X$ 的分量表达式则与所选的基底有关。如果 $\omega _{k}^{i}$ 定义了一个将基底 $e_{i}$ 映射到另一个基底 $e'_{i}$ 的变换

eqcov

e'_{i}=\omega _{i}^{k}e_{k}

我们有以下关于 $e_{i}$ 中 $X$ 的分量 $x_{i}$ 和 $e'_{i}$ 中 $X$ 的分量 $x'_{i}$ 之间的关系：

eqcontra

x^{i}=\omega _{k}^{i}x'^{k}

这来自

X=x'^{i}e'_{i}=x'^{i}\omega _{i}^{k}e_{k}

以及

X=x^{i}e_{i}

等式 eqcov 和 eqcontra 定义了两种类型的变量：像向量基一样变换的 *协变* 变量。 $x_{i}$ 就是这样的变量。 *逆变* 变量像该基上的向量分量一样变换。用物理学词汇来说， $x_{i}$ 被称为协变向量， $x^{i}$ 被称为逆变向量。

设 $x_{i}$ 和 $y_{j}$ 是两个向量空间 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 中的两个向量。张量积空间 $E_{1}\otimes E_{2}$ 是一个向量空间，使得在 $E_{1}\times E_{2}$ 的双线性形式空间和 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的线性形式空间之间存在唯一的同构。 $E_{1}\times E_{2}$ 的双线性形式是

b(x,y)=b^{ij}x_{i}x_{j}

它可以被认为是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的线性形式，使用来自 $E_{1}\times E_{2}$ 到 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的运算 $\otimes$ ，该运算对于 $+$ 是线性和可分配的。如果 $e_{i}$ 是 $E_{1}$ 的基，而 $f_{j}$ 是 $E_{2}$ 的基，那么

x\otimes y=x_{i}y_{j}e_{i}\otimes e_{j}.

$e_{i}\otimes e_{j}$ 是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的基。因此，张量 $x_{i}y_{j}=T_{ij}$ 是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的元素。因此，二阶协变张量是 $E^{*}\otimes E^{*}$ 的元素。在基变换中，其分量 $a{ij}$ 按照以下关系进行变换

a'_{ij}=\omega _{i}^{k}\omega _{j}^{l}a_{kl}

现在我们可以定义任意秩和任意方差的张量。例如，一个三阶、两次协变、一次逆变的张量是一个元素 $a$ 的 $E^{*}\otimes E^{*}\otimes E$ ，记为 $a_{ij}^{k}$ 。

一个二阶张量被称为对称张量，如果 $a_{ij}=a_{ji}$ 。如果 $a_{ij}=-a_{ji}$ ，则被称为反对称张量。

伪张量 的变换方式与普通张量略有不同。例如，一个二阶协变伪张量根据以下方式进行变换。

a'_{ij}=det(\omega )\omega _{i}^{k}\omega _{j}^{l}a_{kl}

其中 $det(\omega )$ 是变换 $\omega$ 的行列式。

secformultens

让我们介绍两个特殊的张量。

克罗内克符号 $\delta _{ij}$ 由以下定义。
$\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{ if }}i=j\\0&{\mbox{ if }}i\neq j\end{array}}\right.$
它是 $R^{3}$ 中唯一在旋转下保持不变的二阶张量。
排列符号张量 $e_{ijk}$ 由以下定义。

e_{ijk}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if permutation }}ijk{\mbox{ of }}1,2,3{\mbox{ is even}}\\-1&{\mbox{if permutation }}ijk{\mbox{ of }}1,2,3{\mbox{ is odd}}\\0&{\mbox{if }}ijk{\mbox{ is not a permutation of }}1,2,3\end{array}}\right.

它是 $R^{3}$ 中唯一在旋转下保持不变的三阶伪张量。它满足以下等式

e_{ijk}e_{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

我们引入两个张量运算：标量积、向量积。

标量积 $a.b$ 是向量 $a$ 和 $b$ 的收缩。
$a.b=a_{i}b_{i}$
两个向量 $a$ 和 $b$ 的向量积是
$(a\wedge b)_{i}=e_{ijk}a_{j}b_{k}$

从这些定义中，我们可以得出以下公式

{\begin{matrix}a.(b\wedge c)&=&a_{i}(b\wedge c)_{i}\\&=&a_{i}\epsilon _{ijk}b_{j}c_{k}\\&=&\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}\\&=&\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{array}}\right|\end{matrix}}

这是一个有用的公式

a\wedge (b\wedge c)=d(a.c)-c(a.b)

secappendgreeneq

格林定理

格林定理允许我们将体积计算积分转换为表面计算积分。

定理

设 $\omega$ 是 $R^{p}$ 中的有界区域，且边界光滑。设 ${\vec {n}}$ 是超曲面 $\partial \omega$ 的法向量（指向 $\omega$ 的外部）。设 $t_{ij\dots q}$ 是一个张量，在 $\omega$ 中连续可微，那么：\index{Green's theorem}