数学物理导论/电磁学/电磁场

场的方程：麦克斯韦方程组

电磁相互作用用电磁场来描述：$E$ 场称为电场，$B$ 场称为磁场，$D$ 场和 $H$ 场。这些场是麦克斯韦方程组的解，\index{麦克斯韦方程组}

${\mbox{ div }}D=\rho$

${\mbox{ rot }}H=j+{\frac {\partial {D}}{\partial t}}$

${\mbox{ div }}B=0$

${\mbox{ rot }}E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

其中 $\rho$ 是电荷密度，$j$ 是电流密度。这个方程组需要由称为本构关系的附加关系补充完整，这些关系将 $D$ 与 $E$ 以及 $H$ 与 $B$ 联系起来。在真空中，这些关系是

$D=\epsilon _{0}E$

$H={\frac {B}{\mu _{0}}}$

在连续物质介质中，需要进行能量假设（参见parenergint章节）。

备注

在谐波状态下\footnote{这意味着场满足以下关系

$E={\mathcal {E}}e^{j\omega t}$

$B={\mathcal {B}}e^{j\omega t}$

} 并且当没有源且本构关系为

• 对于 $D$ 场
  $D(r,t)=\epsilon (r,t)*E(r,t)$
  其中 $*$ 表示时间卷积\index{卷积}（$D(r,t)$ 场在时间 $t$ 的值取决于之前时间的 $E$ 值）并且
• 对于 $B$ 场
  $H={\frac {B}{\mu _{0}}},$

麦克斯韦方程意味着亥姆霍兹方程

$\Delta {\mathcal {E}}+k^{2}{\mathcal {E}}=0.$

证明是习题exoeqhelmoltz 的主题。

备注

光学方程是麦克斯韦方程的极限情况。依康方程

${\mbox{ grad }}^{2}L=n^{2}$

其中 $L$ 是光程，$n$ 是光学指数，可以通过使用 WKB 方法从亥姆霍兹方程获得（参见部分secWKB）。费马原理可以从依康方程通过光线方程推导出（参见部分secFermat）。惠更斯衍射原理可以通过使用积分方法从亥姆霍兹方程推导出（参见部分secHuyghens）。

电荷守恒

描述电荷守恒的局部方程是：

eqconsdelacharge

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}{j}=0$

secmodelcha

电荷建模

麦克斯韦-高斯方程中真空中的电荷密度

${\mbox{ div }}E={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

需要以分布式的意义来理解，也就是说 $E$ 和 $\rho$ 都是分布。特别是 $\rho$ 可以是狄拉克分布，而 $E$ 可以是不连续的（参见关于分布的附录 chapdistr）。根据定义

• 位于 $r=0$ 的点电荷 $q$ 由分布 $q\delta (r)$ 建模，其中 $\delta (r)$ 是狄拉克分布。
• 偶极矩为 $P_{i}$ 的偶极子\index{dipole} 由分布 ${\mbox{ div }}(P_{i}\delta (r))$ 建模。
• 四极矩张量\index{tensor} 为 $Q_{i,j}$ 的四极子由分布 $\partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}(Q_{i,j}\delta (r))$ 建模。
• 以同样的方式，可以定义更高阶的矩。

电流密度 $j$ 也由分布建模

• 单极子不存在！没有点电荷的等效物。
• 磁偶极子是 ${\mbox{ rot }}A_{i}\delta (r)$

secpotelec

静电势

静电势是麦克斯韦-高斯方程的解

$\Delta V={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

这些方程可以通过第chapmethint节介绍的积分方法求解：一旦找到问题的格林函数（或平移不变问题的基本解），则任何其他源的解都可以写成一个简单的积分（或对于平移不变问题，可以写成一个简单的卷积）。单位点电荷在无限空间中产生的电势$V_{e}(r)$是麦克斯韦-高斯方程的基本解。

$V_{e}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

让我们举一个第chapmethint节介绍的积分方法的应用例子。

例子

无限空间中由电偶极子产生的电势

$V_{P_{i}}=\int V_{e}(r-r')\partial _{i}(P_{i}\delta (r'))$

由于电势在无穷远处为零，使用格林公式

$V_{P_{i}}=-\int \partial _{i}(V_{e}(r-r'))(P_{i}\delta (r')).$

根据$\delta$分布的性质，得到

eqpotdipo

$V_{P_{i}}=-\partial _{i}(V_{e}(r))P_{i}$

seceqmaxcov

麦克斯韦方程的协变形式

在上一章中，我们已经看到光速$c$不变性是狭义相对论的基础。麦克斯韦方程应该有一个明显的不变形式。让我们介绍这种形式。

电流密度四维矢量

电荷守恒方程（连续性方程）是

$\nabla .j+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

让我们引入电流密度四维矢量

$J=(j,ic\rho )$

连续性方程现在可以写成

$\nabla J=0$

它是协变的。

势四维矢量

洛伦兹规范条件:\index{洛伦兹规范}

$\nabla A-{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

表明势四维矢量是

$A=(A,i{\frac {\phi }{c}})$

因此，麦克斯韦势方程可以用以下协变形式写成

$\Box A_{\mu }=-\mu _{0}j_{\mu }$

电磁场张量

狭义相对论为电磁学的呈现提供了最优雅的形式：麦克斯韦势方程可以写成紧凑的协变形式，但这仅仅是本节的主题，它为我们揭示了电磁场本质的新见解。让我们证明$E$场和$B$场只是同一物理实体，即电磁场张量的两个方面。为此，考虑从场中表达势的方程

$B=\nabla \wedge A$

和

$E=\nabla \phi -{\frac {\partial A}{\partial t}}.$

让我们引入二阶反对称张量\index{张量 (电磁场)} $F$，定义为

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial A_{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial A_{\nu }}}.$

因此

$F_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}0&B_{3}&-B_{2}&-{\frac {i}{c}}E_{1}\\-B_{3}&0&B_{1}&-{\frac {i}{c}}E_{2}\\B_{2}&-B_{1}&0&-{\frac {i}{c}}E_{3}\\{\frac {i}{c}}E_{1}&{\frac {i}{c}}E_{2}&{\frac {i}{c}}E_{3}&0\\\end{array}}\right)$

麦克斯韦方程可以写成

$\partial _{\nu }F_{\mu \nu }=\mu _{0}j_{\mu }$

这个方程显然是协变的。$E$和$B$场只是同一物理实体的组成部分

脚注