数学物理导论/电磁学/电磁感应

引言

电磁感应是指在一个闭合回路 $C_{2}$ 中，通过法拉第定律，由闭合回路 $C_{1}$ 中电流产生的磁场感应出的电动势 (emf)。

电磁感应中涉及的两个定律是

安培定律（静态版本）：$\nabla \times B=\mu _{0}j$

法拉第定律：$\nabla \times E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

其中 $E$ 和 $B$ 分别是电场和磁场，$j$ 是电流密度，$\mu _{0}$ 是磁导率。

数学预备知识

回路、多回路和无散度矢量场

路径、回路和无散度矢量场之间的关系是一个重要的数学预备知识，值得简单介绍。

给定任何定向路径 $C$，$C$ 可以用向量场 $\delta (r;C)$ 来表征。对于所有位置 $r\notin C$，$\delta (r;C)=0$。对于所有位置 $r\in C$，$\delta (r;C)$ 在 $C$ 的方向上是无限大的，类似于狄拉克 δ 函数。$\delta (r;C)$ 必须满足的积分性质是，对于任何定向曲面 $\sigma$，如果 $C$ 在首选方向上总共穿过 $\sigma$ $N$ 次，则

$\iint _{r\in \sigma }\delta (r;C)\bullet dA=N$ ($dA$ 是表示无穷小定向曲面段的向量)

($C$ 在相反方向上穿过 $\sigma$ 会使 $N$ 减少 1。）

给定任何向量场 $F(r)$，$\int _{r\in C}F(r)\bullet dr=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}(F(r)\bullet \delta (r;C))d\tau$ ($dr$ 是一个表示无穷小定向路径段的向量，而 $d\tau$ 是一个无穷小体积段)

很容易验证，如果 $C$ 是一个闭合回路，则 $\nabla \bullet \delta (r;C)=0$

给定任何闭合回路序列 $C_{1},C_{2},\dots ,C_{k}$，这些回路可以以线性方式相加，得到一个由向量场 $\delta (r;C_{1})+\delta (r;C_{2})+\dots +\delta (r;C_{k})$ 表示的“多回路”。这个多回路用以下方式表示：$C_{1}+C_{2}+\dots +C_{k}$。

最重要的是，给定任何无散度向量场 $F$，它比 $o(1/|r|^{2})$ 衰减得更快，当 $|r|\rightarrow +\infty$ 时，则存在闭合回路族 $C[\xi ]$，其中 $\xi \in D_{C}$ 是一个任意的连续索引参数，使得 $F(r)=\iint _{\xi \in D_{C}}\delta (r;C[\xi ])d\xi$。用更简单的术语来说，任何无散度向量场都可以表示为闭合回路的线性组合。

曲面、多曲面和无旋向量场

曲面、闭合曲面和无旋向量场之间的关系也是一个重要的数学预备知识，值得简要介绍。

给定任何有向曲面 $\sigma$，$\sigma$ 可以用矢量场 $\delta (r;\sigma )$ 来描述。$\delta (r;\sigma )=0$ 对所有位置 $r\notin \sigma$ 成立。对于所有位置 $r\in \sigma$，$\delta (r;\sigma )$ 在 $\sigma$ 的外法线方向上是无穷大的，这与狄拉克δ函数类似。 $\delta (r;\sigma )$ 必须满足的积分性质是，对于任何有向路径 $C$，如果 $C$ 在优选方向上穿过 $\sigma$ 总共 $N$ 次，那么

$\int _{r\in C}\delta (r;\sigma )\bullet dr=N$

($C$ 在相反方向上穿过 $\sigma$ 会使 $N$ 减少 1。）

给定任何矢量场 $F(r)$，$\int _{r\in \sigma }F(r)\bullet dA=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}(F(r)\bullet \delta (r;\sigma ))d\tau$

很容易验证，如果 $\sigma$ 是一个闭合曲面，那么 $\delta (r;\sigma )$ 是无旋的。

给定任意曲面序列 $\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{k}$，这些曲面可以以线性方式相加得到一个称为“多曲面”的矢量场，它用矢量场表示 $\delta (r;\sigma _{1})+\delta (r;\sigma _{2})+\dots +\delta (r;\sigma _{k})$。该多曲面表示为：$\sigma _{1}+\sigma _{2}+\dots +\sigma _{k}$。

最重要的是，对于任意无旋矢量场 $F$，其衰减速度快于 $o(1/|r|^{2})$，当 $|r|\rightarrow +\infty$ 时，存在一个闭曲面族 $\sigma [\xi ]$，其中 $\xi \in D_{\sigma }$ 是一个任意的连续索引参数，使得 $F(r)=\iint _{\xi \in D_{\sigma }}\delta (r;\sigma [\xi ])d\xi$。简而言之，任何无旋矢量场都可以表示为闭曲面的线性组合。

给定一个定向曲面 $\sigma$，其边界为逆时针方向的 $C$，则 $\nabla \times \delta (r;\sigma )=\delta (r;C)$。对于任意表示多曲面的矢量场 $F$，则 $\nabla \times F$ 是一个矢量场，它表示由 $F$ 表示的多曲面的逆时针方向边界。这一特性很重要，因为它使磁场能够表示产生它的闭合电流环的多曲面内部。

互感的定义

令 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为两个定向闭合回路，并令 $\sigma _{1}$ 和 $\sigma _{2}$ 为两个定向曲面，其逆时针边界分别为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$.

给定围绕 $C_{1}$ 流动的电流为 $I$，设 $B_{1}$ 为安培定律产生的磁场。注意 $B_{1}(r)\propto I$。穿过曲面 $\sigma _{2}$ 的磁通量为

$\Phi _{B,2}=\iint _{r\in \sigma _{2}}B_{1}(r)\bullet dA$ 其中 $dA$ 是 $\sigma _{2}$ 的无穷小表面元素的向量表示。

请注意，$\Phi _{B,2}\propto I$。这个比例常数，$M_{1,2}={\frac {\Phi _{B,2}}{I}}$，是来自 $C_{1}$ 到 $C_{2}$ 的互感。

来自 $C_{1}$ 到 $C_{2}$ 的互感将用 $M(C_{1},C_{2})$ 表示。

自感

当 $C_{2}=C_{1}$ 时，电感 $L(C_{1})=M(C_{1},C_{1})$ 被称为“自感”。

互感的线性

给定回路 $C_{1}$，$C_{2}$ 和 $C_{3}$，很容易证明 $M(C_{1}+C_{3},C_{2})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{3},C_{2})$ 以及 $M(C_{1},C_{2}+C_{3})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{1},C_{3})$。

设 $B_{1}(r)$，$B_{2}(r)$ 和 $B_{3}(r)$ 分别为电流 $I$ 流过 $C_{1}$，$C_{2}$ 或 $C_{3}$ 时产生的磁场。

由于麦克斯韦方程的线性，$C_{1}$ 和 $C_{3}$ 共同产生的磁场为 $B_{1}(r)+B_{3}(r)$。这导致 $M(C_{1}+C_{3},C_{2})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{3},C_{2})$。

通过 $C_{2}+C_{3}$ 的磁通量是通过 $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 分别产生的磁通量的总和。这导致 $M(C_{1},C_{2}+C_{3})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{1},C_{3})$。

互感的对称性

假设存在两个闭合回路 $C_{1}$ 和 $C_{2}$，则 $M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$。这种对称性虽然从互感系数的显式公式中可以看出，但并不直观。为了使这个事实更直观，由 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 生成的磁场将被解释为多曲面，它们的边界分别是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$。

假设在闭合回路 $C_{1}$ 中存在电流 $I$，并用 $B_{1}(r)$ 表示由此产生的磁场。安培定律要求 $\nabla \times B_{1}(r)=\mu _{0}I\delta (r;C_{1})\implies \nabla \times {\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {B_{1}(r)}{I}}=\delta (r;C_{1})$，因此 ${\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {B_{1}(r)}{I}}$ 是一个边界为 $C_{1}$ 的多曲面。由于 $B_{1}(r)\propto I$，令 $b_{1}(r)={\frac {B_{1}(r)}{I}}$。

给定无散度矢量场 $F$，$F$ 穿过 $\sigma _{1}$ 的通量为

$\iint _{r\in \sigma _{1}}F(r)\bullet dA=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}F(r)\bullet \delta (r;\sigma _{1})d\tau =\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}F(r)\bullet {\frac {b_{1}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$

最后一个等式成立是因为 $F$ 是无散度的，并且 $\delta (r;\sigma _{1})$ 和 ${\frac {b_{1}(r)}{\mu _{0}}}$ 是具有共同边界 $C_{1}$ 的多曲面。

$B_{1}(r)$ 是无散度的。$B_{1}(r)$ 穿过 $\sigma _{2}$ 的通量为

$\Phi _{B,2}=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}I{\frac {b_{1}(r)\bullet b_{2}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$

因此：$M(C_{1},C_{2})=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {b_{1}(r)\bullet b_{2}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$，由此可以明显看出对称性$M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$。

计算互感

方法 1（使用矢量势）

磁场的高斯定律要求$\nabla \bullet B=0$。这使得$B$ 的“矢量势”成为可能：一个满足$\nabla \times A=B$ 的矢量场$A$。条件$\nabla \bullet A=0$ 也可以强制执行。

使用矢量恒等式

对于任何矢量场$F$：$\nabla \times (\nabla \times F)=\nabla (\nabla \bullet F)-\nabla ^{2}F$

安培定律变为

$\nabla \times B=\mu _{0}j\iff \nabla \times (\nabla \times A)=\mu _{0}j\iff \nabla (\nabla \bullet A)-\nabla ^{2}A=\mu _{0}j\iff \nabla ^{2}A=-\mu _{0}j$

$\nabla ^{2}A=-\mu _{0}j$ 是泊松方程的一个特例，其解为：$A(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{r'\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {j(r')}{|r-r'|}}d\tau '$

可以验证，对于此解，由于 $\nabla \bullet j=0$，所以 $\nabla \bullet A=0$.

流经闭合回路 $C_{1}$ 的电流为 $I$ 生成的矢势为：$A_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{r_{1}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {I\delta (r_{1};C_{1})}{|r-r_{1}|}}d\tau _{1}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {I}{|r-r_{1}|}}dr_{1}$

流经闭合回路 $C_{1}$ 的电流为 $I$ 生成的磁场为：$B_{1}=\nabla \times A_{1}$。穿过曲面 $\sigma _{2}$（由 $C_{2}$ 逆时针包围）的磁通量为

$\Phi _{B,2}=\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}B_{1}(r_{2})\bullet dA_{2}=\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}(\nabla \times A_{1})(r_{2})\bullet dA_{2}=\int _{r_{2}\in C_{2}}A_{1}(r_{2})\bullet dr_{2}$，利用斯托克斯定理。

$\Phi _{B,2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{2}\in C_{2}}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {I}{|r_{2}-r_{1}|}}(dr_{1}\bullet dr_{2})$ 因此，互感为：$M(C_{1},C_{2})={\frac {\Phi _{B,2}}{I}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{2}\in C_{2}}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {dr_{1}\bullet dr_{2}}{|r_{2}-r_{1}|}}$

该方程被称为“诺伊曼公式”.

从该表达式还可以看出，互感是对称的：$M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$.

方法 #2 (利用线性性和回路偶极子)

对于任何闭合回路$C$，令 $\sigma$ 为一个方向为逆时针方向的表面，且该表面以 $C$ 为其边界。对于 $\sigma$ 的每个无穷小的面积向量元素 $dA$，令无穷小的 $\partial (dA)$ 为一个无穷小的闭合回路，该回路以 $dA$ 为其逆时针边界。那么 $C=\int _{r\in \sigma }\partial (dA)$.

互感的线性性表明

$M(C_{1},C_{2})=M\left(\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\partial (dA_{1}),\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}\partial (dA_{2})\right)=\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}M(\partial (dA_{1}),\partial (dA_{2}))$

换句话说，两个大回路之间的互感可以表示为几个小回路之间的互感之和。

给定一个面积向量 $A$，以及围绕 $A$ 边界以逆时针方向流动的电流 $I$，则形成的磁偶极子（矢量）为 $P=IA$。如果面积缩小，则如果磁偶极子要保持不变，电流会按比例增加。

给定一个位于位置 $0$，具有无穷小面积的磁偶极子 $P$，由 $P$产生的磁场为

$B(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3(P\bullet r)r}{|r|^{5}}}-{\frac {P}{|r|^{3}}}\right)$

设 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 为两个无穷小回路内部的面积矢量，第二个回路相对于第一个回路偏移了 $r$。 设电流 $I$ 以逆时针方向流经 $a_{1}$ 的边界，形成偶极子 $Ia_{1}$。 $Ia_{1}$ 生成的磁场通过 $a_{2}$ 的磁通量为

$\Phi _{B,2}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\left({\frac {3(a_{1}\bullet r)(a_{2}\bullet r)}{|r|^{5}}}-{\frac {a_{1}\bullet a_{2}}{|r|^{3}}}\right)$

因此，如果 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的逆时针边界

$M(c_{1},c_{2})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3(a_{1}\bullet r)(a_{2}\bullet r)}{|r|^{5}}}-{\frac {a_{1}\bullet a_{2}}{|r|^{3}}}\right)$

回到计算 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 之间的互感，得到

$M(C_{1},C_{2})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}\left({\frac {3(dA_{1}\bullet (r_{2}-r_{1}))(dA_{2}\bullet (r_{2}-r_{1}))}{|r_{2}-r_{1}|^{5}}}-{\frac {dA_{1}\bullet dA_{2}}{|r_{2}-r_{1}|^{3}}}\right)$

该公式以表面积分而不是回路积分为中心。