数学物理导论/电磁学/电磁相互作用

电磁力

电磁学的假设必须由另一个关于相互作用的假设来补充

假设

对于电荷为 $q$ 的带电粒子，施加在这个粒子上的电磁力为

$f=qE+qv\wedge B$

其中 $qE$ 是电力（或库仑力）\index{库仑力}，而 $qv\wedge B$ 是洛伦兹力。\index{洛伦兹力}

这个结果可以使用坡印廷矢量推广到连续介质。\index{坡印廷矢量}

secenergemag

电磁能量，坡印廷矢量

之前的使用力的假设可以用一个使用能量的“对偶”假设来代替

假设

考虑一个体积为 $V$ 的区域。矢量 $P=E\wedge H$ 称为坡印廷矢量。假设矢量 $P$ 穿过包围体积为 $V$ 的表面 $S$ 的通量，该表面由进入法线定向，等于传递给该体积的电磁功率 ${\mathcal {P}}$。

使用格林定理， ${\mathcal {P}}$ 可以写成

${\mathcal {P}}=\int \!\!\!\int E\wedge Hnds=-\int \!\!\!\int \!\!\!\int {\mbox{ div }}(E\wedge H)d\tau$

使用麦克斯韦方程，得到

${\mathcal {P}}=\int \!\!\!\int \!\!\!\int H{\frac {\partial B}{\partial t}}+E.j+E{\frac {\partial D}{\partial t}}d\tau$

最后两个假设密切相关。事实上，我们现在将证明它们基本上表达了相同的意思（即使坡印廷矢量形式可以被认为更一般）。

考虑一个点电荷 $q$ 处在一个场 $E$ 中。让我们将这个电荷移动 $dr$。之前的假设指出，这种位移对应着内能的变化。

$\delta U=\int E\delta Dd\tau$

其中 $dD$ 是由电荷位移引起的 $D$ 的变化。

定理

内能变化是

$\delta U=-f\delta r$

其中 $f$ 是作用在电荷上的电场力。

证明

在静态情况下，$E$ 场具有保守环路 (${\mbox{ rot }}E=0$)，因此它来自一个势能。\medskip 让我们写下能量守恒方程

$\delta U=\int E\delta Dd\tau$

$\delta U=\int -{\mbox{ grad }}(V)\delta Dd\tau$

$\delta U=\int V{\mbox{ div }}(\delta D)d\tau -\int {\mbox{ div }}(V\delta D)d\tau$

与 $V\delta D$ 的散度相关的流在整个空间中都为零，实际上 $D$ 随着 $1/r^{2}$ 递减，而 $V$ 随着 $1/r$ 递减，表面积随着 $r^{2}$ 增加。因此

$\delta U=\int V\delta \rho d\tau$

让我们将电荷移动 $\delta r$。电荷分布从 $q\delta (r)$ 变为 $q\delta (r+dr)$，其中 $\delta (r)$ 是狄拉克分布。因此，我们有 $d\rho (r)=q(\delta (r+\delta r)-\delta (r))$。

,

因此，

因此

$\delta U=qV(r+\delta r)-qV(r)$

$\delta U={\mbox{ grad }}(qV)\delta r$

变化最终为 $\delta U=-fdr$。此外，我们证明了

$f=-{\mbox{ grad }}(qV)=qE$