数学物理/电磁学/光学导论，电磁学的特例

secWKB

Eikonal 方程，传输方程

WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）方法\index{WKB 方法} 用于展示电磁学（亥姆霍兹方程）如何蕴含几何和物理光学。让我们考虑亥姆霍兹方程：

eqhelmwkb

\Delta E+k^{2}(x)E=0

如果 $k(x)$ 是一个常数 $k_{0}$ 则 eqhelmwkb 的解是

E=ce^{-jk_{0}x}

方程 eqhelmwkb 的一般解为

E=a(x)e^{-jk_{0}L(x)}

这是常数变异法。让我们使用 $n(x)$ 作为光学指标\index{光学指标} 来写亥姆霍兹方程\index{亥姆霍兹方程}。

\Delta E+k_{0}^{2}n^{2}(x)E=0

其中 $n=v_{0}/v$ 。让我们使用以下展开式来展开 $E$ （见（[#References|references]))

E(x)=e^{jk_{0}[S_{0}+{\frac {S_{1}}{jk_{0}}}+\dots ]}

其中 ${\frac {1}{jk_{0}}}$ 是展开式的小变量（它对应于小波长）。将 $k_{0}^{2}$ 的项进行相等，得到 *Eikonal 方程*

}\index{Eikonal 方程}

\partial _{i}S_{0}\partial _{i}S_{0}=n^{2}

也可以写成

{\mbox{ grad }}^{2}S_{0}=n^{2}.

有人说我们使用了“几何近似”\footnote{ 费马原理可以从图标方程推导出来。实际上，费马原理只是图标方程的变分形式。} 。如果扩展只限于这一阶，它就不是 $E$ 的渐进展开（见（[#References|参考文献]））。指数的精度不够高：如果忽略了 $S_{1}$ ，则忽略了波的相位。对于 $k_{0}$ 中的项

\partial _{i}\partial _{i}S_{0}+2\partial _{i}S_{0}\partial _{i}S_{1}=0

这个方程被称为输运方程。\index{输运方程} 我们已经完成了物理上的“光学近似”。现在我们有了 $E$ 的渐进展开。

secFermat

几何光学，费马原理

几何光学定律可以用变分形式表示\index{费马原理} ，通过费马原理（见（[#References|参考文献]））

原理： 费马原理：光线所遵循的轨迹使路径积分最小化

L=\int n({\vec {r}})ds

其中 $n(r)$ 是所考虑介质的光学指标。\index{光学指标} 函数 $L$ 被称为光程。\index{光程

}

费马原理允许将光线方程\index{光线方程} 作为麦克斯韦方程的结果推导出来

定理： 光线轨迹方程是

{\frac {d}{ds}}(n{\frac {dr}{ds}})={\mbox{ grad }}n.

证明： 让我们用某个 $t$ 变量对光程进行参数化

L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}}){\frac {ds}{dt}}dt

设

M({\dot {\vec {r}}})={\frac {ds}{dt}}

得到

L({\vec {r}})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}})M({\dot {\vec {r}}})dt.

因此，光程 $L$ 可以写成

L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}})dt

让我们计算 $L$ 的变分

0=L({\vec {r}}+{\vec {u}})-L({\vec {r}})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial n}{\partial {\vec {r}}}}M({\dot {\vec {r}}}){\vec {u}}+n({\vec {r}}){\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}{\dot {\vec {u}}})dt

将第二项按部分积分

\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}}){\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}{\dot {\vec {u}}}dt=[]+{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}){\vec {u}}

现在我们有：\footnote{事实上

M({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}

以及

{\frac {\partial M}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\dot {x}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}}={\frac {dx}{ds}}

}

{\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}={\frac {d{\vec {r}}}{ds}}

以及

{\frac {d}{dt}}={M({\dot {\vec {r}}})}{\frac {1}{ds}}

因此

{\frac {d}{ds}}(n{\frac {dr}{ds}})={\mbox{ grad }}n

这是光线方程。

备注

斯涅尔-笛卡尔定律\index{斯涅尔-笛卡尔定律} 可以从费马原理推导出。考虑空间被一个表面 $S$ 分成两部分； $S$ 上方部分的折射率为 $n_{1}$ ，下方部分的折射率为 $n_{2}$ 。令 $I$ 为 $S$ 上的一点。考虑 $A_{1}$ 为介质 $1$ 中的一点，而 $A_{2}$ 为介质 $2$ 中的一点。让我们引入光程\footnote{在每个介质 $1$ 和 $2$ 中，费马原理的应用表明光线以直线形式传播。}.