数学物理导论/连续介质中的能量/广义弹性

介绍

在本节中，将介绍弹性能量的概念。\index{elasticity} 弹性能量的概念允许轻松推导出“应变-变形”关系。\index{strain--deformation relation} 所以，在用虚功法对物质进行建模时 \index{virtual powers} 引入了一个与位移相关的功率函数。\index{virtual powers} 特别考虑质量为 $m$ 的物体，它连接到弹性系数为 $k$ 的弹簧上。系统的变形用弹簧相对于平衡位置的伸长量 $x$ 来表示。与位移 $dx$ 相关的虚功 \index{virtual work} 为

deltWfdx

\delta W=f.dx

量 $f$ 代表约束，这里是一个力，而 $x$ 是变形。如果力 $f$ 是保守的，那么已知基本功（由外部提供）是势能函数或内能 $U$ 的全微分：

eqdeltaWdU

\delta W=-dU

一般情况下，力 $f$ 依赖于变形。关系 $f=f(x)$ 因此是一个约束-变形关系 。

找到应变-变形关系最自然的方法如下。人们利用问题的物理特性和对称性来寻找 $U$ 作为变形函数的表达式。在振子的特殊情况下，内能必须只依赖于到平衡位置的距离 $x$ 。如果 $U$ 在 $x=0$ 处存在展开式，那么在平衡位置的邻域内， $U$ 可以近似为

U(x)=a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+O(x^{2})

由于 $x=0$ 是一个平衡位置，我们在 $x=0$ 处有 $dU=0$ 。这意味着 $a_{1}$ 为零。因此，在平衡点附近，曲线 $U(x)$ 呈现抛物线形状（参见图 figparabe

figparabe

在稳定平衡位置 $x_{0}$ 附近，内能函数 $U$ 作为平衡位置差的函数呈现抛物线轮廓。

由于

dU=-fdx

应力-应变关系变为

f={\frac {dU}{dx}}

振荡器链

考虑一个由 $N$ 个弹簧常数为 $k_{ij}$ 的弹簧连接的、一维的振荡器链。该系统在图 figchaineosc 中表示。每个振荡器用它相对于平衡位置的位置差 $x_{i}$ 来标记。根据牛顿运动定律的计算意味着

U=\sum {\frac {1}{2}}k_{ij}(x_{i}-x_{j-1})^{2}

figchaineosc

使用虚功原理的计算将是断言：总的弹性势能通常是 $U(x_{1},\dots ,x_{N})<math>ofthedifferences$ x_i</math> 到平衡位置的差的函数。由于力是保守的，因此该微分是全微分\footnote{正如下一节将展示的那样，在弹性理论中，这个假设是最难证明的}。因此，在平衡时：\index{equilibrium}

dU=0

如果 $U$ 允许泰勒展开：

eqdevliUch

U(x_{1}=0,\dots x_{N}=0)=a+a_{i}x_{i}+a_{ij}x_{i}x_{j}+O(x^{2})

在最后一个等式中，使用了重复索引求和约定。定义内能的微分为

dU=f_{i}dx_{i}

得到

f_{i}={\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}.

使用公式 eqdevliUch 给出的 $U$ 表达式可以得到

f_{i}=a_{ij}x_{j}.

但是在这里，由于交互作用只发生在最近邻之间，变量 $x_{i}$ 不是正确的热力学变量。让我们选择由下式定义的变量 $\epsilon _{i}$ 作为热力学变量：

\epsilon _{i}=x_{i}-x_{i-1}.

$U$ 的微分变为

dU=F_{i}d\epsilon _{i}

假设 $U$ 在平衡位置附近存在泰勒展开

U=b+b_{i}\epsilon _{i}+b_{ij}\epsilon _{i}\epsilon _{j}+O(\epsilon ^{2})

以及平衡时 $dU=0$ ，可以得到

F_{i}=b_{ij}\epsilon _{j}

由于交互作用只发生在最近邻之间

b_{ij}=0{\mbox{ si }}i\neq j\pm 1

所以

F_{i}=b_{ii}\epsilon _{i}+b_{ii+1}\epsilon _{i+1}

这对应于作用在质量 $i$ 上的力的表达式

F_{i}=-k(x_{i}-x_{i-1})-k(x_{i+1}-x_{i})

如果设定 $k=-b_{ii}=-b_{ii+1}$ .

secmaterelast

三维弹性材料

考虑一个系统 $S$ 在状态 $S_{X}$ 中，该状态是从状态 $S_{0}$ 变形而来的。每个粒子位置用向量 $a$ 在状态 $S_{0}$ 中表示，用向量 $x$ 在状态 $S_{X}$ 中表示。

x=a+X

向量 $X$ 代表变形。

备注

这种模型可以用来描述流体和固体。

考虑 $X$ 始终“很小”的情况。这种假设称为小扰动假设（SPH）。内能被视为函数 $U(X)$ .

定义： SPH 变形张量是 $X$ 的张量梯度的对称部分。

\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(X_{i,j}-X_{j,i})

在 secpuisvirtu 一节中，我们已经看到，此处所考虑问题的容许内应变的功率为

P_{i}=\int K_{ij}^{s}u_{i,j}^{s}d\tau

其中

dU=-P_{i}dt

张量 $u_{i,j}^{s}$ 被称为变形率张量。它是张量 $u_{i,j}$ 的对称部分。在 SPH 假设框架下，变形率张量仅仅是 SPH 变形张量的时间导数，这一点可以在 [ph:fluid:Germain80] 中得到证明。

u_{i,j}^{s}={\frac {d\epsilon _{ij}}{dt}}

因此：

dukij

dU=-\int K_{ij}^{s}d\epsilon _{ij}d\tau .

因此，函数 $U$ 可以被视为函数 $U(\epsilon _{ij})$ 。更准确地说，我们寻找可以写成以下形式的函数 $U$ ：

U=\int \rho e_{l}d\tau

其中 $e_{l}$ 是内能密度，其在平衡位置附近的泰勒展开式为：

eqrhoel

\rho e_{l}=a+a_{ij}\epsilon _{ij}+a_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}

我们有\footnote{

footdensi

实际上

{\frac {d}{dt}}U={\frac {d}{dt}}\int \rho e_{l}d\tau

并且根据粒子导数的性质

{\frac {d}{dt}}\int \rho e_{l}d\tau =\int {\frac {d}{dt}}(\rho e_{l}d\tau )

现在，

{\frac {d}{dt}}(\rho e_{l}d\tau )=e_{l}{\frac {d}{dt}}(\rho d\tau )+\rho d\tau {\frac {d}{dt}}e_{l}

根据质量守恒定律

{\frac {d}{dt}}\rho =0

}

eqdudt

{\frac {dU}{dt}}=\int \rho ({\frac {d}{dt}}e_{l})d\tau

因此

dU=\int \rho de_{l}d\tau

使用表达式 eqrhoel 的 $e_{l}$ 并假设 $dU$ 在平衡状态下为零，我们有

dU=\int \rho [a_{ijkl}\epsilon _{ij}d\epsilon _{kl}+a_{ijkl}d\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}]d\tau

因此

dU=\int \rho b_{ijkl}\epsilon _{kl}d\epsilon _{ij}d\tau

其中 $b_{ijkl}=a_{ijkl}+a_{klij}$ 。与方程 dukij 比较，得到以下应变-变形关系

K_{ij}^{s}=b_{ijkl}\epsilon _{kl}

这是一个广义的胡克定律\index{胡克定律}。 $b_{ijkl}$ 是弹性系数。

注意：对脚注 footdensi 的计算表明，前一部分 secchampdslamat 中的计算应该处理体积能量密度。

secenernema

向列相材料

向列相材料\index{向列相} 是一种材料 [ph:liqcr:DeGennes74]，其状态可以用矢量场\footnote{近晶相材料的状态可以用函数 $u(x,y)$ 定义。} $n$ 定义。该场与材料中分子取向有关（参见图 figchampnema）

figchampnema

向列相材料中每个分子的方向可以用一个向量 $n$ 来描述。在连续模型中，这将产生一个向量场 $n$ 。向列相材料的内能是向量场 $n$ 及其偏导数的函数。

让我们寻找一个内能 $U$ ，它依赖于 $n$ 场的梯度。

U=\int ud\tau

其中

u=u_{1}(\partial _{i}n_{j})+u_{2}(n_{i}\partial _{j}n_{k})+u_{3}(\partial _{i}n_{j}\partial _{k}n_{l})+u_{4}(n_{p}n_{q}\partial _{i}n_{j}\partial _{k}n_{l})+\dots

$u_{1}$ 对导数的线性依赖的最一般形式是：

eqsansder

u_{1}(\partial _{i}n_{j})=K_{ij}\partial _{i}n_{j}

其中 $K_{ij}$ 是一个二阶张量，它依赖于 $r$ 。让我们考虑对称性如何简化这种形式。

旋转不变性。泛函 $u_{1}$ 应该是旋转不变的。

u_{1}(\partial _{i}n_{j})=u_{1}(R_{ik}R_{jl}\partial _{k}n_{l})

其中 $R_{mn}$ 是正交变换（旋转）。因此我们有条件

K_{ij}=R_{ik}R_{jl}K_{kl},

也就是说，张量 $K_{ij}$ 必须是各向同性的。已知在三维空间中唯一的二阶各向同性张量是 $\delta _{ij}$ ，即单位矩阵。所以 $u_{1}$ 总是可以写成

u_{1}=k_{0}{\mbox{ div }}n

在变换 $n$ 映射到 $-n$ 下的不变性。畸变能与 $n$ 的方向无关，也就是说 $u_{1}(n)=u_{1}(-n)$ 。这意味着常数 $k_{0}$ 在前面的等式中为零。

因此，不存在以方程式 eqsansder 给出的形式存在的能量。这使得我们必须考虑下一个可能的项 $u_{2}$ 。 $u_{2}$ 的一般形式是

u_{2}=L_{ijk}n_{k}\partial _{i}n_{j}

让我们看看对称性如何简化这个表达式。

在变换 $n$ 映射到 $-n$ 下的不变性。这个不变性条件在 $u_{2}$ 中得到很好的满足。
旋转不变性。旋转不变性条件意味着
$L_{ijk}=R_{il}R_{jm}R_{kn}L_{lmn}$
已知在 $R^{3}$ 中不存在任何三阶各向同性张量，但存在一个三阶各向同性伪张量：符号伪张量 $e_{jkl}$ （见附录 secformultens）。这使得我们得到表达式

u_{2}=k_{1}e_{ijk}n_{k}\partial _{i}n_{j}=k_{1}n{\mbox{ rot }}n.

{\bf 能量相对于轴变换的 $x\rightarrow -x$ , $y\rightarrow -y$ , $z\rightarrow -z$ 的不变性。} 向列晶体的能量具有这种不变性性质\footnote{ 胆甾型液晶不满足这个条件。} 。由于 $e_{ijk}$ 是一个伪张量，它在这样的变换下会改变符号。