数学物理导论/连续介质中的能量/导论

热力学第一定律（参见章节secpremierprinci）允许将内能变化与内应力功率\index{strains}联系起来。

${\frac {dU}{dt}}={\dot {Q}}-P_{i}$

如果假设热流为零，则内能变化为

$dU=-P_{i}dt$

此关系允许将机械应力（$P_{i}$项）与系统的热力学性质（$dU$项）联系起来。在对系统进行建模时，会选择一些“热力学”变量$X$。它们可以是标量$x$、向量$x_{i}$、张量$x_{ij}$，…微分$dU$可以使用这些热力学变量$X$通过一个可以象征性地写成的关系来自然地表达

$dU=FdX$

其中$F$是共轭的\footnote{这是在处理功率时，应力和速度及其梯度之间注意到的相同对偶关系。}

thermodynamical variable of variable

$X$。通常，人们寻求将$F$表示为$X$的函数。

备注

如果$X$是标量$x$，则能量微分是

$dU=f.dx$

如果$X$是向量$x_{i}$，则能量微分是

$dU=f_{i}dx_{i}$

如果 $X$ 是一个张量 $x_{ij}$，则能量微分是

$dU=f_{ij}dx_{ij}$

备注

如果位移 $x$ 被视为热力学变量，则其共轭变量 $f$ 的量纲为力。

备注

可以使用勒让德变换（参见章节 secmaxient 和 ([#References），从使用变量 $X$ 作为热力学变量的描述，转变到使用 $X$ 的共轭变量 $F$ 作为热力学变量的描述。

下一步是，利用物理论证，找到内能 $U(X)$ \index{internal energy} **关于**热力学变量 $X$ 的一个**表达式**。关系 $F(X)$ 是通过对 $U$ 关于 $X$ 求偏导数得到的，符号表示为

$F(X)={\frac {\partial U}{\partial X}}$

本章介绍了这种建模方法的几个例子。