数学物理导论/连续介质中的能量/其他现象

secpiezo

压电效应

在研究压电效应（[#References|参考文献]）时，选择$\sigma _{ij}$的形式为

$\sigma _{ij}=\lambda _{ijkl}u_{kl}+\gamma _{ijk}E_{k}$

张量$\gamma _{ijk}$反映了电场变量$E_{i}$和$F$表达式中存在的变形变量之间的耦合。

$F=F_{0}+\epsilon _{ij}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{2}}\lambda _{ijkl}u_{ij}u_{kl}+\gamma _{ijk}E_{i}u_{jk}.$

$D_{i}$的表达式变为

$D_{i}=\left.{\frac {\partial F}{\partial E_{i}}}\right)_{u_{fixed},T_{fixed}}$

所以

$D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}+\gamma _{ijk}u_{jk}$

粘度

当应变取决于变形速度时，材料被称为粘性的\index{粘度}。在线性粘弹性理论（[#References|参考文献]）中，采用以下应变-变形关系

$\sigma _{ij}=a_{ijkl}u_{kl}+b_{ijkl}{\frac {\partial u_{kl}}{\partial t}}$

符合这种规律的材料被称为**短记忆材料**\index{memory}，因为约束在时间 $t$ 的状态只取决于此时刻的变形以及无限接近时间 $t$ 的时刻的变形（正如时间导数的泰勒展开所暗示的）。张量 $a$ 和 $b$ 分别扮演弹性系数和粘度系数的角色。如果应变-变形关系被选为：

eqmatmem

$\sigma _{ij}=a_{ijkl}u_{kl}+\int _{0}^{t}b_{ijkl}(t-s)u_{kl}(s)ds,$

那么这种材料被称为长记忆材料，因为约束在时间 $t$ 的状态不仅取决于时间 $t$ 的变形，还取决于时间 $t$ 之前时刻的变形。第一项表示瞬时弹性效应。第二项解释了记忆效应。

备注：这些材料属于 ([#References

备注

在分布理论框架下，时间导数可以被看作是狄拉克分布导数的卷积。例如，时间导数可以用与 $\delta '(t)$ 的卷积来表示。这允许将这种情况视为方程式 eqmatmem 给出的公式的特例。