数学物理学导论/群论

定义

在经典力学中，\index{group} 平移和旋转不变性对应于动量和角动量守恒。诺特定理允许将拉格朗日函数的对称性和守恒定律联系起来。本附录介绍了对称性这一直观概念的数学基础理论。

定义

一个群是由一组元素 $G=\{g_{1},g_{2},\dots \}$ 和一个组合定律 $.$ 组成，该定律将任何有序对 $(g_{1},g_{2})\in G$ 映射到 $G$ 中的一个元素 $g_{1}.g_{2}$ 。组合定律 $.$ 是

结合性的
$g_{1}.(g_{2}.g_{3})=(g_{1}.g_{2}).g_{3}$
具有单位元素 $e$
$g.e=e.g=e$
对于每个 $g$ 的 $G$ ，存在 $G$ 中的一个元素 $g^{-1}$ 使得
$g.g^{-1}=g^{-1}.g=e$

定义

群的阶是指 $G$ 中元素的数量。

表示

为了更深入地研究群表示论，建议读者参考大量的文献（例如，参见 ([#References|参考文献])）。

定义

一个群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的 $K=R$ 或 $K=C$ 的一个表示，是一个从 $G$ 到群 $GL(V)$ \footnote{ $GL(V)$ 是从 $V$ 到 $V$ 的线性映射空间。它是关于函数复合法则的一个群。} {\it i.e }一个映射

{\begin{array}{llll}\Pi :&G&\longrightarrow &GL(V)\\&g&\longrightarrow &\Pi (g)\end{array}}

其中

\Pi (g_{1}.g_{2})=\Pi (g_{1}).\Pi (g_{2})

定义

令 $(V,\Pi )$ 为 $G$ 的一个表示。如果 $V$ 的向量子空间 $W$ 在 $\Pi$ 的作用下是稳定的，那么

\forall g\in G,\Pi (g).W\subset V.

然后，我们可以在 $W$ 中得到 $G$ 的一个表示，称为 $\Pi$ 的子表示。

定义

群 $G$ 的一个表示 $(V,\Pi )$ 被称为 *不可约* 的，如果它除了 $0$ 和自身以外，没有其他子表示。

考虑一个对称群 $G$ 。让我们考虑一些向量空间 $V$ 的经典例子。令 ${\mathcal {R}}$ 是 $G$ 的一个元素。

示例:

exampgroupR

令 $G$ 是空间 $R^{3}$ 的变换 ${\mathcal {r}}$ 的一个群。 $G$ 在 $V=R^{3}$ 中的一个表示 $\Pi _{1}$ 可以简单地定义为

{\begin{array}{llll}\Pi _{1}({\mathcal {r}}):&R^{3}&\longrightarrow &R^{3}\\&{\vec {x}}&\longrightarrow &{\vec {x}}'={\mathcal {R}}({\vec {x}})\end{array}}

对于群 $G$ 中的每一个元素 ${\mathcal {r}}$ ，都关联着 $R^{3}$ 上的一个映射 ${\mathcal {R}}$ 。这个映射可以通过一个矩阵 $M$ 来定义，这个矩阵被称为对称操作符 ${\mathcal {r}}$ 的表示矩阵。

示例

让我们考虑 $NH_{3}$ 分子，其对称性为 $C_{3}$ 。该群的特征对称操作有：

三个反射 $\sigma _{1}$ ， $\sigma _{2}$ 和 $\sigma _{3}$ 。
围绕 $C_{3}$ 轴的两个旋转，旋转角分别为 ${\frac {2\pi }{3}}$ 和 ${\frac {4\pi }{3}}$ ，分别记为 $C_{3}^{1}$ 和 $C_{3}^{2}$ 。
旋转角为 ${\frac {6\pi }{3}}$ 的旋转为恒等操作，记为 $E$ 。

在 $R^{3}$ 的任何基中，群对称操作符的表示矩阵通常不是块对角化的。

三维空间可以分成两个不变子空间：一个由 $E_{1}$ 轴的向量张成的一维空间，以及垂直于该向量的平面 $E_{3}$ 。在化学书籍中， $E_{1}$ 上的表示称为 $A$ ，而 $E_{2}$ 上的表示称为 $E$ 。它们都是不可约的。

备注

为了研究分子的振动，我们不应考虑欧几里得空间 $R^{3}$ 作为状态空间，而应该考虑自由度 $q_{i}$ 的空间，其中 $q_{i}$ 是系统的自由度。可以使用对称性考虑来解决耦合矩阵问题对角化的问题。实际上，一个振动系统在对称性 $G$ 下是不变的，这意味着它的能量在 $G$ 下也是不变的。

\forall g\in G,\forall x\in V,<M^{+}(g)x|KM(g)x>=<x|Kx>

矩阵 $M(g)$ 是正交的，动能也是不变的。

考虑以下定理

定理：

theosymde

如果算符 $A$ 在 $R$ 下是不变的，即 $\rho _{R}A=A$ 或 $RAR^{-1}=A$ ，如果 $\phi$ 是 $A$ 的特征向量，则 $R\phi$ 也是 $A$ 的特征向量。

证明

为了证明这个定理，我们只需要评估 $A$ 对 $R\phi$ 的作用即可。

先前定理允许我们预测特征向量及其简并度。

示例

考虑在示例 exampgroupR 中引入的群 $G$ 。 $\Pi _{2}$ 是 $G$ 在可平方和空间 $L^{2}$ 上的表示，可以定义为

{\begin{array}{llll}\Pi _{2}({\mathcal {r}}):&L^{2}(R^{3})&\longrightarrow &L^{2}(R^{3})\\&f(x)&\longrightarrow &Rf(x)=f({\mathcal {R}}^{-1}({\vec {x}}))\end{array}}

其中 ${\mathcal {R}}=\Pi _{1}({\mathcal {r}})$ 是变换 ${\mathcal {r}}$ （ $G$ 的元素）的矩阵表示。如果 $\phi _{i}$ 是 $L^{2}(R^{3})$ 的基底，那么我们有 $R\phi _{i}=D_{ki}\phi _{i}$ 。

示例

考虑在示例 exampgroupR 中引入的群 $G$ 。 $\Pi _{3}$ 是 $G$ 在 $L^{2}$ 线性算子的空间上的表示，可以定义为

{\begin{array}{llll}\Pi _{3}({\mathcal {r}}):&{\mathcal {L}}(L^{2}(R^{3}))&\longrightarrow &{\mathcal {L}}(L^{2}(R^{3}))\\&A&\longrightarrow &\rho _{A}=RAR^{-1}\end{array}}

其中 $R=\Pi _{2}({\mathcal {r}})$ 是变换 ${\mathcal {r}}$ 的矩阵表示，在之前的示例中定义，它是 $G$ 的元素，而 $A$ 是定义算子的矩阵

相对于 $R^{3}$ 旋转群，可以定义标量、矢量和张量算子。

定义

一个标量算子 $S$ 在旋转下是不变的

RSR^{-1}=S

一个标量算子的例子是量子力学中的哈密顿算子。

定义

一个矢量算子 $V$ 是一组三个算子 $V_{m}$ ， $m=-1,0,1$ （ $V$ 在球坐标系中的分量），它们满足以下对易关系

[X_{i},V_{m}]=\epsilon _{imk}V_{k}

更一般地，可以定义张量算子

定义

一个张量算子 $T$ 的分量 $T_{m}^{j}$ 是一个算子，它在旋转下的变换由以下给出

RT_{m}^{j}R^{-1}=D_{m'm}^{j}(R)T_{m'}^{j}

其中 $D_{m'm}^{j}(R)$ 是旋转 $R$ 对由向量 $|jm>$ 张成的空间的限制。

D_{m'm}^{j}(R)=<jm'|R|jm>

另一个等价定义在 ([#References|参考文献]) 中给出。可以证明，矢量算符是 $j=1$ 的张量算符。群论对物理学家来说很有趣，因为它提供了自然界中遇到的对称群的不可约表示。它们的数目是有限的。例如，可以证明在晶体学中只允许 32 个对称点群。还存在将可约表示扩展到不可约表示的方法（参见 ([#References|参考文献])）。