数学物理学导论/导论
物理学一词来自希腊语 ，意思是自然。物理学是研究物质、空间和时间的性质以及描述自然现象的规律的科学。现代物理学基于物质并非如我们感知的那样的理念。伽利略提出这一理念，后经笛卡尔、波义耳和洛克等哲学家发展，成为物理学还原论方法的起源：人们试图通过更基本层面的物质性质来描述给定尺度下物质的性质。这种方法有两个部分：首先，确定构成物质的基本元素。因此，普通物质将由原子组成，原子本身是由原子核和电子组成的。原子核本身是由核子组成的，核子是由夸克和胶子组成的粒子。其次，研究这些基本元素的组合及其相互作用以解释观察到的现象。因此，物体的颜色可以通过构成这些物体的分子原子的振动来解释。同样，声音将被解释为传到耳朵的空气密度的变化。目前，已知自然界中存在四种基本相互作用，即引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用。在这本书中，我们考虑的“最小”元素是原子核和电子，除了本章 多体问题和物质描述 介绍了物质的组织。在原子尺度或更大尺度上发生的相互作用是电磁相互作用和引力相互作用。
本书的目的是提出对现代物理学的整体看法。通过以下两个轴线来保证物理学各个领域之间的连贯性
- 第一个轴线是由普遍的数学语言提供的。建模的核心数学思想是使用常微分方程 (ODE) 和偏微分方程 (PDE)。由于这些工具在本书中的重要性，它们在专门的章节（章节 chapprob）中进行了介绍。但是数学形式主义更进一步。物理学书籍中使用的数学水平问题一直是一个关键点，因为过高的水平可能会排除许多读者。在这里，每当我们认为先进的数学工具可以简化理论陈述时，我们就会使用它们。例如，电磁学的陈述是用分布理论完成的：它允许将点、表面和体积电荷分布作为一个整体进行全局处理。我们还使用张量，因为每个物理量本质上都是一个张量，以及群论，因为它允许轻松地将对称的概念形式化。但是，尽管这本书中经常使用高级工具，但它们是在物理学家的水平上使用的：数学严谨性在这本书中无法达到，因此对于不熟悉这些理论的读者来说，它可能被认为更“易消化”。此外，我们在附录中提供了一些关于此处使用的数学理论的基础知识。还为希望了解更多信息的读者提供了许多关于数学书籍的参考文献。如果这本书能让大家阅读数学书籍，那么这本书的目标之一就将实现。
- 这本书遵循的第二个轴线是对多体问题的研究。多体问题是现代物理学的基本问题。它对应于物理学还原论方法的第二步：现象是通过使用更小尺度的实体来描述的。固体或液体的行为是通过使用分子来描述的。分子的行为是通过使用原子来描述的。原子的行为是通过使用电子和核子来描述的，等等。另一方面，星系是通过使用恒星的行为来描述的，星系团是通过使用星系的性质来描述的，等等。还原论方法非常强大，并且是现代物理学的基础，它取得了辉煌的成果，例如对氢光谱谱线进行了高达小数点后第十位的计算。但它也存在局限性。例如，无法从物理学的基本原理和 HO 分子的性质推导出冰浮在水面上。
一个非常重要的点：我们展示了用于解决给定问题的“方法”。读者不应认为物理学仅仅是应用一些经典方法。对自然的建模是一种非常有创意的活动。创造力和好奇心是进行物理学研究的两个基本品质。在物理学中，如何简化问题始终是一个关键点。在对现象的描述中，某些特征是必不可少的，而另一些则不是。物理学家的工作是选择哪些特征真正相关。但是，当然，永远不会只有一种模型来描述一种现象。因此，原子发光可以用经典弹簧模型或量子模型来描述。每种描述都会得到结果。第一个比第二个简单得多，并且对于您要解决的问题可能已经足够了。第二个更强大，并且基于物质结构的现有理念。但这些只是同一现象的不同模型。第二个并不比第一个更“真实”。它只能描述和预测更多现象。如果读者在阅读完本书后相信物理学是一个充满多样性和令人费解问题的奇妙领域，那么本书最重要的目标就将实现！然而，物理学家必须知道何时完成创造性的工作。他必须能够识别经典数学问题（这些问题可能隐藏在各种细节后面），并使用数学和数值工具来解决它们。但在这里也是如此，这并不是盲目的活动。每次都存在几种方法，建模者必须从这些方法中选择。可能还有必要，他的问题需要一些新方法来解决，因为他的问题有一些特定的特征。科学进步和发现就是这样实现的。
本书的组织方式如下：第一章是数学导论。它介绍了在对物理现象进行建模时遇到的大量问题的分类。它处理偏微分方程和最小化。它还介绍了用于近似求解这些问题的数值方法。这里采用的观点是将经典问题的数值处理的介绍留给专门的书籍：线性代数方程的解、特征系统、求根，即使它们在求解 PDE 和最小化问题时被使用。这样做的原因是，这些操作可以“轻松地”自动化（现在已经在经典科学软件中得到了相当好的实现）。例如，许多程序现在建议求解线性代数方程组 只需发送命令 给程序！另一方面，科学家必须更详细地了解用于解决 PDE 和最小化问题的 methods，因为 methods 的选择很多，并且每个 methods 都有不同的行为，可以适应要解决的特定问题。本章对本书其他部分的许多引用：本章确实给出了我们上面提到的数学统一性。事实上，本书其余部分中介绍的大多数数学问题都可以看作是 PDE 问题或最小化问题。
第二章是对建模的物理学介绍。它介绍了还原论方法是自然的各种物理系统。
物理空间的几何化和动力学的第一定律在下一章介绍了相对论。阅读应该与阅读关于张量的附录同时进行。
下一章讨论了电磁学。在上一章中介绍的思想得到了发展：电磁力（及其在功率方面对偶描述）的概念与电磁场有关。光学被表述为麦克斯韦方程组的近似。对于不熟悉该理论的读者，关于分布的附录可能会有所帮助。
下一章介绍了量子力学的基本理论，该理论在下一章应用于多体问题。在第 1 章中介绍的方法被广泛用于求解薛定谔方程。
下一章统计物理学探讨了统计物理学的核心原理。统计物理学是回到宏观尺度的关键理论。它使我们能够在下一章中解决各种N体问题，其中N是较大的数值。它也是理解下一章中介绍的物质的动力学和连续描述的理论基础。
本书的读者对象是那些希望对物理学有一个全局概念的人。事实上，物理学通常由大学里的不同教授教授，他们往往忽略了不同课程之间的潜在联系。拥有3年或4年大学物理学背景的学生可以受益于阅读本书，例如为期末考试做准备。研究人员也可以将本书用作详细的备忘录。在这种情况下，参考文献将非常有用。本书还可以帮助数学家通过现实世界的例子来说明数学课程。来自其他科学领域的问题对于数学至关重要。不幸的是，这一点往往被数学老师忽略了。
在每章的末尾，我们提供了一些练习。其中一些是直接应用所介绍的材料。另一些则鼓励读者进行更多思考，并阅读专业书籍。