勒贝格积分的理论很复杂，这里无法详细介绍。但是，我们建议读者通过其性质来了解勒贝格积分。勒贝格意义上的积分是一个泛函，它将某个泛函空间（可积函数空间）的每个元素 F {\displaystyle F} 映射到一个数字，记为 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} ，也记为 ∫ f {\displaystyle \int f} .
对于一个函数 f {\displaystyle f} ，如果 | f | {\displaystyle |f|} 可积，则 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 也可积。如果 g ( x ) ≥ 0 {\displaystyle g(x)\geq 0} 可积，且 | f ( x ) | ≤ g ( x ) {\displaystyle |f(x)|\leq g(x)} ，则 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 也可积，且
如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 几乎处处相等，则它们的积分相等。如果 f ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f(x)\geq 0} ，且 ∫ f = 0 {\displaystyle \int f=0} ，则 f {\displaystyle f} 几乎处处为零。一个有界的函数，在有限区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 外为零，是可积的。如果 f {\displaystyle f} 在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上黎曼可积，则勒贝格意义上的积分和黎曼意义上的积分相等。
