数学物理导论/N体问题和统计平衡/练习

练习

顺磁性。考虑一个由 $N$ 个原子组成的系统，位于晶格节点上。令 $J_{i}$ 为第 $i$ 个原子的基态总动量。已知这样一个动量对应着一个磁矩，由

$\mu _{i}=-g\mu _{B}J_{i}$

给出，其中 $\mu _{B}$ 是玻尔磁子，$g$ 是朗德因子。 $J_{i}$ 只能取半整数。

假设描述 $N$ 个原子的系统的哈密顿量为

$H=\sum -\mu _{i}B_{0}$

其中 $B_{0}$ 是外部磁场。这个系统中的原子是什么类型的粒子，可区分的还是不可区分的？求出系统的配分函数。

练习

研究二维伊辛模型。是否有可能设想一种直接方法来计算 $Z$ ?编写一个程序，允许可视化自旋随时间推移的演变，温度作为一个参数。

练习

考虑一个独立费米子的气体。计算一个态 $\lambda$ 的平均占据数 ${\bar {N}}_{\lambda }$。你将得到的定律被称为费米分布。

练习

考虑一个独立玻色子的气体。计算一个态 $\lambda$ 的平均占据数 ${\bar {N}}_{\lambda }$。你将得到的定律被称为玻色分布。

练习

考虑一个半导体金属。金属中的自由电子可以被建模为独立费米子的气体。假设这些状态由状态密度 $\rho (\epsilon )$ 描述，其中 $\epsilon$ 表示状态的能量。给出 $\rho (epsilon)$ 的表达式。找到将电子数量 ${\bar {N}}$ 与化学势联系起来的表达式。给出温度为零时的势能表达式。