数学物理导论/N体问题和统计平衡/伊辛模型

在本节中，给出了一个配分函数计算的例子。伊辛模型[ma:equad:Schuster88]，[ph:physt:Diu89] \index{Ising}是一个描述铁磁性的模型\index{ferromagnetic}。铁磁材料由具有微小磁矩的小微观区域构成。由于这些磁矩的方向是随机的，因此总磁矩为零。然而，在某个临界温度$T_{c}$以下，磁矩会沿着某个方向排列，并且观察到非零总磁矩。伊辛模型被提出用来描述这种现象。它包括用磁矩$S_{i}$（可以被认为是自旋）\index{spin}来描述每个微观区域，自旋之间的相互作用由以下哈密顿量（在一维情况下）描述

$H=-K\sum S_{l}S_{l+1}$

系统的配分函数是

$Z=\sum _{(S_{l})}\Pi _{l=0}^{N-1}e^{-KS_{l}S_{l+1}},$

它可以写成

$Z=\sum _{(S_{l})}\Pi _{l=0}^{N-1}{\mbox{ ch }}K+S_{l}S_{l+1}{\mbox{ sh }}K.$

假设$S_{l}$只能取两个值。即使一维伊辛模型没有表现出相变，我们在这里也以两种方式展示了配分函数的计算。$\sum _{(S_{l})}$表示对$S_{l}$所有可能值的求和，因此，就像对体积的积分是对每个变量的连续积分一样，它是对$S_{l}$的连续求和。配分函数$Z$可以写成

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}f(S_{1},S_{2})f(S_{2},S_{3})\dots$

其中

$f_{K}(S_{i},S_{i+1})={\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K$

我们有

$\sum _{S_{1}}f(S_{1},S_{2})=2{\mbox{ ch }}K.$

事实上

$\sum _{S_{1}}f(S_{1},S_{2})={\mbox{ ch }}K+S_{2}(+1){\mbox{ sh }}K+{\mbox{ ch }}K+S_{2}(-1){\mbox{ sh }}K.$

因此，依次对每个变量积分，得到：

eqZisi

$Z=2^{n-1}({\mbox{ ch }}K)^{n-1}$

这个结果可以通过一种强大的计算方法得到：**重整化群方法**[ph:physt:Diu89]，[ma:equad:Schuster88]\index{renormalisation group}，由K. Wilson提出。再次考虑配分函数

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}f_{K}(S_{1},S_{2})f_{K}(S_{2},S_{3})\dots$

其中

$f_{K}(S_{i},S_{i+1})={\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K$

将项按两两分组得到

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}g(S_{1},S_{2},S_{3}).g(S_{3},S_{4},S_{5})\dots$

其中

$g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})=({\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K)({\mbox{ ch }}K+S_{i+1}S_{i+2}{\mbox{ sh }}K)$

这种分组在图figrenorm中进行了说明。

对所有可能的自旋值 $S_{i},S_{i+1},S_{i+2}$求和。积$f_{K}(S_{i},S_{i+1})f_{K}(S_{i+1},S_{i+2})$是对自旋的所有可能值 $S_{i}$ 和 $S_{i+2}$的求和，得到一个函数$f_{K'}(S_{i},S_{i+2})$，该函数由 $f_{K}$通过简单改变参数$K$（与函数$f_{K}$相关）的值得到。

figrenorm

计算$S_{i+1}$所有可能值的和，得到

$\sum _{S_{i+1}}g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})=2({\mbox{ ch }}^{2}K+S_{i}S_{i+2}{\mbox{ sh }}^{2}K)$

因此，函数$\sum _{S_{i+1}}g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})$可以写成第二个函数$f_{K'}(S_{i},S_{i+2})$，其中

$K'={\mbox{ Arcth }}({\mbox{ th }}^{2}K).$

迭代此过程，得到一个收敛到由公式 eqZisi定义的配分函数$Z$的序列。