数学物理导论/N体问题与统计平衡/量子理想气体

引言

考虑一个量子理想气体，{\it i. e.}, 一个由独立粒子组成的系统，这些粒子需要使用量子力学来描述， \index{量子理想气体}与一个粒子库 [ph:physt:Diu89] 和恒温器处于平衡状态。采用的描述称为“大规范系”。可以证明，熵最大化问题的解（使用拉格朗日乘子法）提供了状态的占据概率 $P_{l}$ $l$ 由能量 $E_{l}$ 和粒子数 $N_{l}$ 定义。

$P_{l}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{l}+\mu \beta N_{l}}$

其中

$Z=\sum _{l}e^{-\beta E_{l}+\mu \beta N_{l}}$

假设构成系统的独立粒子是相同的不可区分粒子。则状态 $l$ 可以用单个粒子的状态 $\lambda$ 的数据来定义。

figoccup

一个独立粒子数量 $N_{l}$ 变化的系统可以用 $N_{l}$ 个粒子的能量集来描述，或者等效地，用各种能级 $\epsilon _{\lambda }$ 上的粒子数量 $N_{\lambda }$ 来描述。

令 $\epsilon _{\lambda }$ 是状态 $\lambda$ 中一个粒子的能量。则状态 $l$ 的系统能量为

$E_{l}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }$

其中

$N_{\lambda }$

是处于能量为 $\epsilon _{\lambda }$ 的状态下的粒子数量。

$E_{\lambda }$.

这个数字被称为能级 $E_{\lambda }$ 的占据数 \index{占据数} （见图 figoccup）。 因此

$N_{l}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }$

配分函数变为

$Z=\Pi _{\lambda }\xi _{\lambda }$

其中

$\xi _{\lambda }=\sum _{N_{l}}e^{-\beta N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }+\beta N_{\lambda }\mu }$

系统中粒子的平均数由下式给出

$\beta {\bar {N}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \mu }}$

可以写成

$\beta {\bar {N}}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }$

其中 $N_{\lambda }$ 表示平均占据数，由以下等式定义

$\beta {\bar {N}}_{\lambda }={\frac {\partial \ln \xi _{\lambda }}{\partial \mu }}$

费米子气体

如果粒子是费米子\index{费米子}，根据泡利不相容原理\index{泡利不相容原理}，占据数 $N_{\lambda }$ 值只能为零（能量为 $\epsilon _{\lambda }$ 的状态下没有粒子）或一（一个唯一的粒子具有能量 $\epsilon _{\lambda }$）。然后，配分函数的表达式允许评估所考虑系统的各种热力学性质。这种形式主义的一个应用例子是研究半导体[ph:physt:Diu89] \index{金属}\index{半导体}的电学性质。费米气体也可以用来模拟白矮星 \index{白矮星}。白矮星是一种非常致密的恒星 [ph:physt:Diu89]：它的质量与普通恒星\index{恒星}（如太阳）的质量相当，但半径却小 50 到 100 倍。引力压力意味着恒星收缩。这种压力在普通恒星中是由恒星中心发生的热核反应来平衡的。但对于白矮星来说，这种反应不再发生。此外，可以证明恒星中电子的速度非常小。由于根据泡利不相容原理，所有电子不能处于同一状态，因此它们会产生一种压力。这种压力被称为“量子压力”，它抵消了引力压力，防止恒星完全坍缩。

玻色气体

如果粒子是玻色子，根据泡利不相容原理，占据数 $N_{\lambda }$ 可以取任何正值或零值

$\xi _{\lambda }^{B}=\sum _{N_{\lambda }=0}^{+\infty }e^{-\beta N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }+\beta N_{\lambda }\mu }$

$\xi _{\lambda }^{B}$ 是公比为

$e^{-\beta \epsilon _{\lambda }+\beta \mu }$

的无穷等比数列的和，其中 $\epsilon _{\lambda }$ 是固定的。级数在

$\epsilon _{\lambda }-\mu >0$

的情况下收敛。可以证明 [ph:physt:Diu89]，在低温下，玻色子会聚集在最低能量状态。这种现象被称为玻色-爱因斯坦凝聚\index{玻色-爱因斯坦凝聚}。

备注

光子是玻色子，其数量不守恒。这赋予它们非常特殊的行为：它们的化学势为零。