数学物理导论/N体问题和统计平衡/自旋玻璃

假设一个自旋玻璃系统\index{自旋玻璃}(见{secglassyspin}节)的能量为

$H=\sum J_{ij}S_{i}S_{j}$

变量$S_{i}$的值为$+1$，如果自旋向上，或$-1$，如果自旋向下。系数$J_{ij}$为$+1$，如果自旋$i$和$j$倾向于朝向相同的方向排列，或$-1$，如果自旋$i$和$j$倾向于朝向相反的方向排列(根据携带自旋的原子的随机位置)。能量记为

$H_{J}=\sum J_{ij}S_{i}S_{j}$

其中$J$在$H_{J}$中表示$J_{ij}$的分布。配分函数为

$Z_{J}=\sum _{[s]}e^{-\beta H_{J}[s]}$

其中$[s]$是一个自旋构型。我们寻找能量在$J_{ij}$分布上的平均值${\bar {f}}$

${\bar {f}}=\sum _{J}P[J]f_{J}$

其中 $P[j]$ 是配置 $[J]$ 的概率密度函数，而 $f_{J}$ 是

$f_{J}=-\ln Z_{J}.$

这种计算平均值的方式在统计物理学中并不常见。平均值是在“冷却的”$J$ 变量上完成的，也就是说它们相对于 $S_{i}$ 变化缓慢。更经典的平均值将包括 $\sum _{J}P[J]\sum _{[s]}e^{-\beta H_{J}[s]}$（$J$ 然后是“退火”变量）。考虑一个系统 $S_{j}^{n}$，它由 $n$ 个相同系统 $S_{J}$ 的副本\index{副本} 组成。它的配分函数 $Z_{J}^{n}$ 仅仅是

$Z_{J}^{n}=(Z_{J})^{n}$

设 $f_{n}$ 是在 $J$ 上定义的平均值

$f_{n}=-{\frac {1}{n}}\ln \sum _{J}P[J](Z_{J})^{n}$

由于

$\ln Z=\lim _{n\rightarrow 0}{\frac {Z^{n}-1}{n}}$

我们有

$\lim _{n\rightarrow 0}f_{n}=\lim _{n\rightarrow 0}\ln(\sum _{J}P[J][1+n\ln Z_{J}])$

利用$\sum _{J}P[J]=1$ 和 $\ln(1+x)=x+O(x)$，可得

${\bar {f}}=\lim _{n\rightarrow 0}f_{n}.$

利用这个技巧，我们用对$Z^{n}$的平均值代替了对$\ln Z$的平均值；需要付出的是在零点进行解析延拓。然后计算过程大大简化了 [ph:sping:Mezard87].

可以使用模拟退火法\index{simulated annealing}来计算受挫系统的平衡态。可以使用Metropolis算法\index{Metropolis}进行数值实现。该方法可以应用于旅行推销员问题（参见 [ma:compu:Press92] \index{travelling salesman problem}).