数学物理导论/量子力学/量子力学中的线性响应

令 ${\mathrel {<}}A{\mathrel {>}}(t)$ 为算符（可观测量） $A$ 的平均值。该平均值可由实验者获得（参见参考文献）。其中 $H(t)$ 与 $sin(\omega t)$ 成正比的情况在参考文献中得到讨论。这里讨论的是 $H(t)$ 与 $\delta (t)$ 成正比的情况。考虑以下问题。

问题

求 $\psi$ 使得

$i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=(H_{0}+W_{i}(t))\psi$

其中

$W_{i}(t)=W_{i}^{c}.\delta (t)$

并计算

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}\psi |qZ|\psi {\mathrel {>}}$

注：线性响应可以在经典框架中描述，其中薛定谔方程被经典力学的演化方程取代。此类模型存在于例如描述电磁化率。

使用相互作用表示法\footnote{这种表示变换等效于 WKB 方法。事实上，${\tilde {\psi (t)}}$ 成为 $t$ 的慢变函数，因为时间依赖性被算符 $e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}$ 吸收。

${\tilde {\psi (t)}}=e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}\psi (t)$

并且

${\tilde {W}}_{i}(t)=e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}W_{i}e^{\frac {-iH_{0}t}{\hbar }}$

需要计算的量是 ${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}$

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}|q{\tilde {Z}}|{\tilde {\psi }}{\mathrel {>}}$

$i\hbar {\frac {d{\tilde {\psi }}}{dt}}={\tilde {W}}_{i}(t){\tilde {\psi }}$

在零阶

${\frac {d{\tilde {\psi }}}{dt}}=0$

因此

${\tilde {\psi }}^{0}(t)={\tilde {\psi }}^{0}(0)$

现在， ${\tilde {\psi }}$ 已处于 $\psi _{0}$ 状态，所以

${\tilde {\psi }}^{0}(t)=\psi _{0}(t){IMP/label|pert1}$

在一阶

${\tilde {\psi }}^{1}(t)={\tilde {\psi }}^{1}(0)+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{t}{\tilde {W}}_{i}(t\prime ){\tilde {\psi }}^{0}(t\prime )dt\prime$

因此，利用 $\delta$ 狄拉克分布的性质

${\tilde {\psi }}^{1}(t)={\frac {1}{i\hbar }}W_{c}^{i}\psi _{0}.{IMP/label|pert2}$

现在我们计算平均值：在一次近似下，

${\begin{matrix}{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}&=&{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}+{\tilde {\psi ^{1}}}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{0}+{\tilde {\psi ^{1}}}{\mathrel {>}}\\&=&{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{1}{\mathrel {>}}+{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{1}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{0}{\mathrel {>}}\end{matrix}}$

实际上，${\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|qZ|{\tilde {\psi }}^{0}{\mathrel {>}}$ 为零，因为 $Z$ 是一个奇算符。

${\begin{matrix}{\mathrel {<} {\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{1}\mathrel {>} =}\\&=&\mathrel {<} {\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {-iH_{0}t}{\hbar }}|{\psi }_{k}\mathrel {>} \mathrel {<} {\psi }_{k}|{\tilde {\psi }}^{1}\mathrel {>} \end{matrix}}$

其中，使用了封闭关系。使用方程 ---pert1--- 和方程 ---pert2--- 给出的微扰结果

${\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|qZ|{\tilde {\psi }}^{1}{\mathrel {>}}=e^{i\omega _{0k}t}{\mathrel {<}}{\psi }^{0}|qZ|{\psi }^{k}{\mathrel {>}}{\frac {1}{i\hbar }}{\mathrel {<}}{\psi }^{k}|W_{i}^{c}|{\psi }^{0}{\mathrel {>}}$

因此我们有

${\begin{matrix}{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(t)&=&0{\mbox{ if }}t<0\\{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(t)&=&e^{i\omega _{0k}t}{\mathrel {<}}{\psi }^{0}|qZ|{\psi }^{k}{\mathrel {>}}{\frac {1}{i\hbar }}{\mathrel {<}}{\psi }^{k}|W_{i}^{c}|{\psi }^{0}{\mathrel {>}}+CC{\mbox{ if not }}\end{matrix}}$

使用傅立叶变换\footnote{ 的傅立叶变换

$f(t)=e^{-i\omega _{0}t}$

和傅立叶变换

$g(t)=H(t)e^{-i\omega _{0}t}$

是不同的: 的傅立叶变换 $f(t)$ 不存在！（见 (参考文献)) }

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(\omega )=2q^{2}E\sum _{k\neq 0}\omega _{0k}{\frac {|{\mathrel {<}}\psi _{0}|Z|\psi _{k}{\mathrel {>}}|^{2}}{\omega _{k0}^{2}-\omega ^{2}}}$