数学物理学导论/量子力学/公理

secespetat

态空间

第一个公理处理的是对系统状态的描述。

公理：（系统状态的描述）对于每个物理系统，对应一个具有可数基的复希尔伯特空间${\mathcal {H}}$。

对于每个被考虑的物理系统，必须精确地定义空间${\mathcal {H}}$。

示例：对于一个在非相对论框架中自旋为零的单粒子系统，所采用的态空间${\mathcal {H}}$是$L^{2}(R^{3})$。它是关于勒贝格测度的平方可和的复函数的空间，由标量积装备

$<\phi |\psi >=\int \phi (x){\bar {\psi }}(x)dx$

该空间被称为轨道态空间。\index{态空间}

因此，量子力学用一个平方可和的函数$\psi (x)$取代了经典的位置和速度的概念。 ${\mathcal {H}}$中的一个元素$\psi (x)$使用狄拉克符号记为$|\psi >$。

示例

对于由一个非零自旋\index{自旋}$s$的粒子构成的系统，在非相对论框架中，态空间是张量积$L^{2}(R^{3})\otimes C^{n}$，其中$n=2s+1$。自旋为整数的粒子被称为玻色子；\index{玻色子} 自旋为半整数的粒子被称为费米子。\index{费米子}

示例： 对于一个由 $N$ 个不同的粒子构成的系统，状态空间是希尔伯特空间 $h_{i}$ ($i\in (1,\dots ,N)$) 的张量积，其中 $h_{i}$ 是与粒子 $i$ 相关联的状态空间。

exmppauli

示例： 对于一个由 $N$ 个相同粒子构成的系统，状态空间是 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空间，其中 $h_{i}$ 是与粒子 $i$ 相关联的状态空间。令 $\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}}$ 是这个子空间的一个函数。它可以写成

$\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}}=\phi _{\alpha _{1}}(1)\otimes \dots \otimes \phi _{\alpha _{2}}(N)$

其中 $\phi _{\alpha _{i}}\in h_{i}$。令 $P^{\pi }$ 是从 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 到 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的置换算子 \index{置换}，定义为

$P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})=\phi _{\alpha _{1}}(\pi (1))\otimes \dots \otimes \phi _{\alpha _{2}}(\pi (N))$

其中 $\pi$ 是 $(1,\dots ,N)$ 的置换。如果一个向量可以写成

$\phi ^{s}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{\pi }P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})$

称为反对称的向量可以写成

$\phi ^{a}={\frac {1}{k^{a}}}\sum _{\pi }(-1)^{p_{\pi }}P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})$

其中 $(-1)^{p_{\pi }}$ 是置换 $\pi$ 的符号（或奇偶性），$p_{\pi }$ 是置换 $\pi$ 是乘积的换位次数。系数 $k^{s}$ 和 $k^{a}$ 用于规范化波函数。求和扩展到 $(1,\dots ,N)$ 的所有置换 $\pi$。根据粒子的不同，应选择对称或反对称向量作为状态向量。更确切地说

• 对于玻色子，态空间是由对称向量构成的 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空间。
• 对于费米子，态空间是由反对称向量构成的 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空间。

为了介绍下一个量子力学假设，必须定义“表示”（[#References|参考文献]）。

薛定谔表示

以下是薛定谔表示中下一个量子力学四个假设的陈述。\index{薛定谔表示}

假设

(物理量的描述) 每个可测量的物理量 ${\mathcal {A}}$ 可以用在 ${\mathcal {H}}$ 中作用的算符 $A$ 来描述。这个算符是可观测量。

假设: (可能的结果) 对物理量 ${\mathcal {A}}$ 的测量结果只能是与该可观测量 $A$ 相关联的本征值之一。

假设: (谱分解原理) 当在一个处于归一化态 $|\psi {\mathrel {>}}$ 的系统中测量物理量 ${\mathcal {A}}$ 时，测量的平均值为 $<A>$ 

$<A>=<\psi |A\psi >$

其中 $<.|.>$ 表示 ${\mathcal {H}}$ 中的标量积。特别地，如果 $A=\sum |v_{i}>a_{i}<v_{i}|$，测量时获得值 $a_{i}$ 的概率为

$P(a_{i})=<\psi |v_{i}><v_{i}|\psi >$

假设: (演化) 状态向量 $\psi (t)$ 的演化遵循薛定谔方程^[1]

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t){\mathrel {>}}=H(t)|\psi (t){\mathrel {>}}$

其中 $H(t)$ 是与系统能量相关的可观测量。

备注: 时间为 $t$ 的状态可以表示为时间为 $0$ 状态的函数

$|\psi (t){\mathrel {>}}=U|\psi (0){\mathrel {>}}$

算符 $U$ 被称为演化算符。\index{演化算符} 可以证明 $U$ 是酉算符。\index{酉算符}

备注: 当算符 $H$ 不依赖于时间时，演化方程可以很容易地积分，得到

$|\psi (t){\mathrel {>}}=U|\psi (0){\mathrel {>}}$

其中

$U=e^{-iHt/\hbar }$

当 $H$ 依赖于时间时，演化方程的解

$i\hbar {\frac {\partial U(t)}{\partial t}}=H(t)U(t)$

不是

$U(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')dt'}$

secautresrep

其他表示

可以通过酉变换得到其他表示。

定义: 根据定义（[#References

性质: 如果 $A$ 是厄米算符，则算符 $T=e^{iA}$ 是酉算符。

证明: 事实上

$T^{+}=e^{-iA^{+}}=e^{-iA}$

$T^{+}T=e^{-iA}e^{+iA}=1$

$TT^{+}=e^{iA}e^{-iA}=1$

性质: 酉变换保持标量积。

证明: 事实上，如果

${\tilde {\psi _{1}}}=U\psi _{1}{\mbox{ et }}{\tilde {\psi _{2}}}=U\psi _{2}$

那么

${\mathrel {<}}\psi _{1}|\psi _{2}{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}{\tilde {\psi _{1}}}|{\tilde {\psi _{2}}}{\mathrel {>}}$

海森堡表象

我们已经看到，演化算符将时间为 $t$ 时的态表示为时间为 $0$ 时的态的函数。

$\phi (t)=U\phi (0)$

让我们将薛定谔表象中的态写为 $\phi _{S}$，海森堡表象中的态写为 $\phi _{H}$。\index{海森堡表象} 海森堡\footnote{维尔纳·海森堡因其在量子力学方面的成就获得了诺贝尔物理学奖} 表象由以下酉变换从薛定谔表象定义

$\phi _{H}=V\phi _{S}$

其中

$V=U^{-1}$

换句话说，海森堡表象中的态的波函数与 $t$ 无关，并且等于 $t=0$ 时薛定谔表象中的对应态：$\phi _{H}=\phi _{S}(0)$。这使得我们可以将公理应用到海森堡表象中

假设：（物理量的描述）对每一个物理量及其对应的状态空间 ${\mathcal {H}}$，可以关联一个函数 $t\in R\rightarrow A_{H}(t)$，其中 $A_{H}(t)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中的自伴算符。

注意，如果 $A_{S}$ 是与薛定谔表示中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 关联的算符，那么 $A_{S}$ 和 $A_{H}$ 之间的关系为

$A_{H}(t)=U^{+}A_{S}U$

算符 $A_{H}$ 与时间有关，即使 $A_{S}$ 与时间无关。

假设：（可能的结果）物理量在时间 $t$ 的值只能是与之关联的自伴算符 $A(t)$ 谱中的一个点。

谱分解原理保持不变

假设：（谱分解原理）当在一个归一化的状态 $|\psi _{H}{\mathrel {>}}$ 的系统上测量物理量 ${\mathcal {A}}$ 时，测量的平均值为 $<A_{H}>$ 

$<A>=<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>$

与薛定谔表示的关系由以下等式描述

$<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>=<\psi _{S}U|U^{+}A_{S}U|U^{+}\psi _{H}>$

因为 $U$ 是酉算符

$<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>=<\psi _{S}|A_{S}\psi _{S}>$

测量得到某个值的概率假设保持不变，只是算符现在依赖于时间，而向量不依赖于时间。

假设：（演化）演化方程是（在一个孤立系统中）

$i\hbar {\frac {dA}{dt}}(t)=-(HA(t)-A(t)H)=-[H,A(t)]$

这个方程被称为海森堡观测量方程。

备注：如果系统是保守的（$H$ 不依赖于时间），我们已经看到

$U=e^{-iHt/\hbar }.$

如果我们将时间为 $t=0$ 的物理量与算符 $A(0)=A$ 联系起来，该算符与薛定谔表示中该物理量的算符相同，那么算符 $A(t)$ 可以写成

$A(t)=e^{+i{\frac {Ht}{\hbar }}}Ae^{-i{\frac {Ht}{\hbar }}}$

相互作用表示

假设哈密顿量 $H$ 可以分成两部分 $H_{0}$ 和 $H_{i}$。特别是，$H_{i}$ 通常被视为 $H_{0}$ 的微扰，代表未受扰状态（$H_{0}$ 的特征向量）之间的相互作用。让我们注意到 $|\psi _{S}{\mathrel {>}}$ 是薛定谔表示中的一个态，而 $|{\psi }_{I}{\mathrel {>}}$ 是相互作用表示中的一个态。\index{相互作用表示}

$|{\psi }_{I}{\mathrel {>}}=U_{0}|\psi _{S}{\mathrel {>}}$

其中

$U_{0}=e^{iH_{0}t/\hbar }$

假设：（物理量的描述）在状态空间 ${\mathcal {H}}$ 中，每个物理量都与一个函数 $t\in R\rightarrow A_{I}(t)$ 相关联，其中 $A_{I}(t)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中的自伴算符。

如果 $A_{S}$ 是与薛定谔表示中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 相关联的算符，那么 $A_{S}$ 和 $A_{I}$ 之间的關係是

$A_{I}(t)=U_{0}A_{S}U_{0}^{+}=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

因此，$A_{I}$ 依赖于时间，即使 $A_{S}$ 不依赖于时间。可能的结论是该算符保持不变。

假设

当测量处于状态 $\psi _{I}$ 的系统中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 时，$A_{I}$ 的平均值为

$<\psi _{I}|A_{I}\psi _{I}>$

正如海森堡表象中所做的那样，可以证明，这个结果等同于薛定谔表象中获得的结果。从薛定谔方程，可以直接得到相互作用表象的演化方程

假设: (演化) 向量 $\psi _{I}$ 的演化由以下给出

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t){\mathrel {>}}=V_{I}|\psi _{I}(t){\mathrel {>}}$

其中

$V_{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{i}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

相互作用表象使微扰计算变得容易。它在量子电动力学中使用（参见[#References|参考文献]）。在本书的剩余部分，将只使用薛定谔表象。