数学物理导论/量子力学/一些可观测量

哈密顿算符

哈密顿算符 \index{hamiltonian operator} 被引入作为无穷小生成元乘以 $i\hbar$ 的演化群。经验、从经典力学到量子力学的过渡方法允许为每个考虑的系统给出它的表达式。薛定谔方程的旋转不变性意味着哈密顿算符是一个标量算符（参见附录 chapgroupes）。

例子

自由粒子的经典能量是

$E_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}.$

它的量子等价物，哈密顿算符 $H$ 是

$H={\frac {P^{2}}{2m}}.$

备注： 过渡关系 量化规则（[#References

位置算符

粒子的经典位置概念 $r$ 导致将一组三个算符（或可观测量）与粒子相关联 $R_{x},R_{y},R_{z}$ 称为位置算符\index{position operator}，它们的作用定义为在轨道希尔伯特空间中的函数 $\phi$

$R_{x}\phi (x,y,z)=x\phi (x,y,z)$

$R_{y}\phi (x,y,z)=y\phi (x,y,z)$

$R_{z}\phi (x,y,z)=z\phi (x,y,z)$

动量算符

同样地，与粒子的“经典”动量相关联的是一组三个可观测量 $P=(P_{x},P_{y},P_{z})$。算符 $P_{x}$ 的作用定义为 \index{momentum operator}

eqdefmomP

$P_{x}\phi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\phi$

算符 $R$ 和 $P$ 验证了称为 *正则对易关系* 的对易关系 \index{对易关系} 

$[R_{i},R_{j}]=0$

$[P_{i},P_{j}]=0$

$[R_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$

其中 $\delta _{ij}$ 是克罗内克符号（参见附录 secformultens），对于任何算符 $A$ 和 $B$，$[A,B]=AB-BA$。算符 $[A,B]$ 称为 $A$ 和 $B$ 的 *对易子*。

动量算符

定义

动量 \index{动量算符} $J$，是一组三个算符 $J_{x},J_{y},J_{z}$，它们验证了以下对易关系 \index{对易关系}

$[J_{i},J_{l}]=i\hbar \epsilon _{kil}J_{k}$

也就是说

$[J_{x},J_{y}]=i\hbar J_{z}$

$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x}$

$[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}$

其中 $\epsilon _{ijk}$ 是置换符号张量（见附录 secformultens）。算符 $J$ 被称为向量算符（见附录 chapgroupes）。

例子

轨道动量

定理

由 $L_{i}=\epsilon _{ijk}R_{j}P_{k}$ 定义的算符是动量，被称为轨道动量。

证明

让我们评估（见（[#References

假设

轨道动量与磁矩 $M$ 相关联

$M={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}L$

例子

关于电子的假设。 我们在章节 secespetat 中看到，电子的态空间（自旋为 $s=1/2$ 的费米子）是轨道态空间和自旋态空间的张量积。定义一个算符 $S$，称为自旋算符，它作用于自旋态空间。假设该算符是动量，并且它通过磁矩出现在哈密顿量中。

假设

算符 $S$ 是动量。

假设

电子是自旋为 $s=1/2$ 的粒子，它具有内禀磁矩 \index{磁矩}

$M_{S}=2{\frac {\mu _{b}}{\hbar }}S$