数学物理/相对论/动力学导论

经典力学基本原理

让我们陈述一个物质点或粒子的经典动力学基本原理。在经典力学中，物质点由其质量 $m$，位置 $r$，和速度 $v$ 来描述。它受到由力 $F_{ext}$ 模拟的外部作用。粒子的动量 $mv$ 用 $p$ 表示。\index{动量}

原理：动力学基本原理（或牛顿运动方程）\index{牛顿运动方程}指出，动量的对时间的导数等于所有外力的总和\index{力}

${\frac {dp}{dt}}=\sum F_{ext}$

secprinmoindreact

最小作用原理

原理：最小作用原理：\index{最小作用原理} 函数 $x(t)$ 描述了具有势能 $U(x)$ 的粒子的轨迹，它产生了恒定的作用，其中作用 $S$ 由 $S=\int Ldt$ 定义，其中 $L$ 是粒子的拉格朗日量： $L(x,{\dot {x}},t)=-{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+U(x)$.

这个原理可以作为物质点经典力学的基础。但它也可以看作先前提出的基本动力学原理的结果 [ma:equad:Arnold83].

$m{\ddot {x}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

让我们乘以 $y(t)$ 并对时间积分

$\int (m{\ddot {x}}y+{\frac {\partial U}{\partial x}}y)\,dt=0$

使用格林公式（分部积分）

$\int (-m{\dot {x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}y)\,dt=0$

${\dot {x}}{\dot {y}}$ 是一个双线性形式。

$-{\dot {x}}{\dot {y}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

$0=\int m[-{\frac {1}{2}}({\dot {x}}+{\dot {y}})^{2}+U(x+y)]-[-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+U(x)]dt+O(y^{2})$

定义拉格朗日量 $L$ 为

$L({\dot {x}},x,t)=-{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+U(x),$

前面的等式可以写成

$0=-\delta \int L({\dot {x}},x,t)dt$

意味着作用量 $S$ 是常数。

能量描述

运动定律没有说明如何对力进行建模。力的建模通常是物理学家的工作。这里有两个力表达式示例

1. 重量 $P=mg$. $g$ 是一个向量，描述了质量为 $m$ 的质点周围的引力场。
2. 电磁力 $f=qv\wedge B+qE$，其中 $q$ 是粒子的电荷，$E$ 是电场，$B$ 是磁场，$v$ 是粒子的速度。

这两个力的表达式直接来自于物理学原理。然而，对于其他相互作用，比如弹性力和摩擦力，物理学家能发挥的自由度就大得多。

对这些复杂相互作用进行建模的一种有效方法是使用能量（或功率）的概念。在 chapelectromag 章中，展示了电磁相互作用中力和能量之间的对偶性。在 chapapproxconti 和 chapenermilcon 章中，发展了能量概念来描述连续介质。

这里我们回顾一下与力描述相互作用相关的一些定义。力 $f$ 对一个微小位移所做的微功为

$\delta W=f.dr$

力 $f$ 对速度为 $v$ 的质点所做的瞬时功率为

$P=f.v$

粒子在时间 $dt$ 内移动 $dr$ 所获得的势能为

$dE=-f.dr=-P.dt$

注意，只有当力场 $f$ 具有保守的环路时，才能定义势能。这适用于重力和电力，但不适用于摩擦力。只受保守力作用的系统是哈密顿系统。控制其动力学的方程是哈密顿方程：{IMP/label|eqhampa1}}

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

eqhampa2

${\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p}}$

其中函数 $H(q,p,t)$ 被称为系统的哈密顿量。对于具有势能 $E_{p}$ 的粒子，哈密顿量为：

eqformhami

$H(q,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+E_{p}(q)$

其中$p$ 是粒子的动量，而$q$ 是它的位置。 扩展来说，任何可以用方程 eqhampa1 和 eqhampa2 描述其动力学的系统，都被称为哈密顿系统 \index{hamiltonian system}，即使 $H$ 不是由方程 eqformhami 给出的形式。

secdynasperel

狭义相对论中的动力学

我们已经看到，洛伦兹变换作用于时间。为了保持经典动力学定律在洛伦兹变换下的不变性（如相对论假设所要求的那样），必须修改这些定律。 需要付出代价的是，动量和能量的概念需要被修改。 让我们假设在冲量四维矢量和速度四维矢量之间存在线性依赖关系；

$P=mU=(m\gamma u,icm\gamma )$

其中$m$ 是粒子的静止质量，$u$ 是粒子的经典速度 $u={\frac {dx}{dt}}$，$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$，其中 $\beta ={\frac {u}{c}}$。 让我们把“相对论动量”这个量称为：

$p=m\gamma u$

以及“相对论能量”这个量

$E=m\gamma c^{2}$

因此，四维矢量 $P$ 可以写成

$P=(p,i{\frac {E}{c}})$

因此，爱因斯坦将能量与质量联系起来，因为在静止状态下

$E=mc^{2}$

这就是质量-能量等价性。\index{matter--energy equivalence} 因此，基本动力学原理在狭义相对论的形式中写成

${\frac {dP}{dt}}=f_{\mu }$

其中 $f_{\mu }$ 是力四维矢量。

示例： 让我们举一个力四维矢量的例子。 洛伦兹力四维矢量定义为

$f^{\mu }=F_{\nu }^{\mu }P^{\nu }$

其中 $F_{\nu }^{\mu }$ 是电磁场张量（参见部分 seceqmaxcov）

狭义相对论中的最小作用原理

让我们来展示如何从最小作用原理中得到基本动力学。这里只考虑自由粒子的情况。作用应写成

$S=\int L(u,x,t)dt$

其中 $L$ 是洛伦兹变换不变的，$u$ 和 $x$ 是粒子的经典速度和位置。最简单的解决方案是声明

$L=\gamma k$

其中 $k$ 是一个常数。事实上，$Ldt$ 这里变成了

$Ldt=kd\tau$

其中 $d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}$，（其中 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$，以及 $\beta ={\frac {u}{c}}$）是本征时间的微分，因此在任何洛伦兹变换下都是不变的。让我们假设 $k=-mc^{2}$。动量则为

$p={\frac {\partial L}{\partial u}}=\gamma mu$

能量可以通过勒让德变换得到，$E=p.u-L$ 所以

$E=\gamma mc^{2}$

广义相对论中的动力学

介绍广义相对论中自由粒子的动力学的最佳方法是使用最小作用原理。 我们定义作用量 $S$ 为

$S=\int ds$

其中 $ds$ 是黎曼时空中的基本距离。 $S$ 在任何坐标系变换下显然是协变的（因为 $ds$ 是协变的）。 考虑定义（协变）微分的基准关系 eqcovdiff。 它得到

$Da^{i}=da^{i}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}dx^{j}$

其中 $da^{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$。 位移可以用 $dx^{i}=u^{i}d\lambda$ 表示，其中 $u^{i}$ 表示轨迹的切线（速度）。 最短路径对应于粒子沿切线平行于自身移动的运动，即

:

$Du^{i}=0.$

或

${\frac {Du^{i}}{d\lambda }}=0$

这得到

eqdynarelatge

${\frac {Du^{i}}{D\lambda }}={\frac {d^{2}x^{i}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{hk}^{i}{\frac {dx^{h}}{d\lambda }}{\frac {dx^{k}}{d\lambda }}$

其中 $\Gamma _{hk}^{i}$ 是取决于系统度量的张量（有关更多详细信息，请参见 [ph:relat:Misner73g]）。 公式 eqdynarelatge 是自由粒子的演化方程。 它是测地线的方程。 图 figgeo 代表球面上两点 A 和 B 之间的测地线。 在这种情况下，测地线是连接 A 和 B 的弧线。

figgeo

球面上的测地线。

请注意，这里，引力相互作用包含在度量中。 因此，上面“自由”粒子的方程描述了经历引力相互作用的粒子的演化。 广义相对论解释了大质量如何偏转光线（参见图 figlightrayd）

figlightrayd

光的弯曲。