数学物理/相对论/习题简介

练习

证明质量为 $m$ 的火箭以速度 $u$（相对于自身）喷射其质量的一部分 $dm$，每单位时间 $dt$，运动方向与 $u$ 相反。在时间 $t=0$ 且初始速度为零的情况下，给出该火箭的运动规律，假设其所处在地球引力场中，该引力场被认为是恒定的。

练习

多普勒效应。 考虑一个光源 $S$，它相对于参考系 $R$ 以恒定速度运动。使用波四矢量 $(k,\omega /c)$，给出与 $S$ 一起运动的实验者和另一个连接到 $R$ 的实验者所测量的频率之间的关系。对于声波呢？

练习

对于柱坐标系，空间的度规 $g_{ij}$ 为

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+dz^{2}$

计算克里斯托费尔符号 $\Gamma _{hk}^{i}$，其定义为

$\Gamma _{hk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{ij}(\partial _{h}g_{kj}+\partial _{k}g_{hj}-\partial _{j}g_{hk})$

练习

考虑一个单位质量，它在一个三维参考系中运动，该参考系的度规为

$ds^{2}=g_{ij}dq_{i}dq_{j}$

证明系统的动能是

$E_{c}={\frac {1}{2}}g_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$

证明动力学的基本方程可以写成（假设力来自一个势能$V$) 

${\frac {D{\dot {q}}_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}$