数学物理学/相对论/空间几何化导论

经典力学

经典力学基于两个基本原理：伽利略相对性原理和动力学的基本原理。让我们陈述伽利略相对性原理

原理： 伽利略相对性原理。 经典力学定律（特别是牛顿运动定律）在所有相对于彼此作匀速平移的参考系中都具有相同的形式。这些参考系称为伽利略参考系或惯性参考系。

在经典力学中，两个事件之间的时间间隔与参考系的运动无关。刚体两个点之间的距离与参考系的运动无关。

备注： 经典力学定律在属于伽利略变换群的变换下是不变的。伽利略坐标变换可以写成

${\begin{matrix}x'_{1}&=&x_{1}-vt\\x'_{1}&=&x_{1}\\x'_{1}&=&x_{1}\\t'&=&t\end{matrix}}$

根据伽利略相对论，光速应该取决于所考虑的伽利略参考系。1881年，迈克尔逊和莫雷试图测量这种依赖关系的实验失败了。

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相对论力学（狭义相对论）

爱因斯坦在他26岁时提出的狭义相对论中，相对论力学基于以下假设

假设： 宇宙中的所有定律（即力学和电磁学定律）在所有伽利略参考系中都是相同的。

由于爱因斯坦相信麦克斯韦方程组（以及由于迈克尔逊-莫雷实验的失败），$c$必须是一个常数。因此，爱因斯坦假设

假设： 真空中的光速$c$在所有伽利略参考系中都是相同的。该速度是一个上限。

我们将在后面看到为了满足这些假设，物理定律必须如何修改。一个普遍速度（即光速）的存在深刻地改变了时空结构。它导致了狭义相对论中采用的度规的精确定义（见附录章节介绍度规的概念）。考虑两个伽利略参考系，其坐标分别为：$(x,t)$和$(x^{\prime },t^{\prime })$。假设在$t=t^{\prime }=0$时，两个坐标系重合。然后

$c={\frac {|x|}{|t|}}={\frac {|x^{\prime }|}{|t^{\prime }|}}$

也就是说

$c^{2}t^{2}-x^{2}=0$

以及

$c^{2}t^{\prime 2}-x^{\prime 2}=0$

因此，数量 $c^{2}t^{2}-x^{2}$ 是一个不变量。因此，空间-时间应该配备的最自然的度量是

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$

假设这种度量应该在伽利略坐标变换下保持不变。

假设：度量 $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$ 在伽利略参考系变化下是不变的。

现在让我们寻找一个空间-时间变换的表示，该变换保持这种度量不变。我们寻找这样的变换，使得

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$

是不变的。从度量来看，必须定义一个“位置向量”。它被称为四维向量位置，有两种形式主义可以用来定义它：\index{four--vector}。

• 四维向量位置的坐标取等于$R=(x,y,z,ct)$，并且空间由矩阵定义的伪标量积装备
  $D=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{array}}\right)$
  然后
  $(R|R)=R^{t}DR$
  其中 $R^{t}$ 表示四维向量位置 $R$ 的转置。
• 或者四维向量位置的坐标取等于$R=(x,y,z,ict)$，并且空间由矩阵定义的伪标量积装备
  $D=Id=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}}\right)$
  然后
  $(R|R)=R^{t}R$
  其中 $R^{t}$ 表示四维向量位置 $R$ 的转置。

一旦选择了形式主义，就可以研究保持伪范数不变的变换的表示（即矩阵）（参见（参考文献））。这里我们只展示这些矩阵。在第一种形式主义中，伪积标量不变的条件意味着

$(MR|MR)=(R|R)$

因此

cond

$D=M^{+}DM$

以下矩阵适合

$M=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

其中 $\beta ={\frac {v}{c}}$ ($v$ 是参考系的移动速度）和 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$。 $M$ 的逆矩阵

$M^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&-\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

备注

方程式 cond 意味着行列式的条件

$1=det(M^{+}DM)=(det(M))^{2}$

矩阵 $M$ 的行列式为 1，它们形成一个名为洛伦兹群的群。\index{Lorentz group}

在第二种形式中，相同的条件意味着

$Id=M^{+}M$

以下矩阵适合

$M=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&-i\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\+i\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

它的逆矩阵是

$M^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&+i\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

备注： 酉矩阵（见 secautresrep 节）是满足以下条件的矩阵

$M^{+}M=1=MM^{+}$

其中 $M^{+}$ 是 $M$ 的伴随矩阵，即 $M$ 的共轭转置矩阵。 那么，由以下公式定义的标量积

${\mathrel {<}}R|Q{\mathrel {>}}=R^{+}Q$

在 $M$ 的作用下保持不变。

特征时间

四标量（或洛伦兹不变） $d\tau$ 允许定义其他四向量（如四速度）

定义： 移动物的特征时间是与该移动物一起运动的时钟所测得的时间。

如果移动物在参考系 $R_{2}$ 中以速度 $v$ 运动，那么在参考系 $R_{1}$ 中，移动物经过事件 A 和 B，

${\begin{matrix}x_{A}=0&&x_{B}=0\\ct_{A}=0&&ct_{B}=c\tau \end{matrix}}$

而在参考系 $R_{2}$ 中为

${\begin{matrix}x_{A}=0&&x_{B}=vt\\ct_{A}=0&&ct_{B}=ct.\end{matrix}}$

因此，可以得到由 $\tau$ 验证的关系：

$\tau ^{2}=t^{2}(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

因此

$d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}$

四速度

四速度定义为

$U={\frac {dX}{d\tau }}=(\gamma u,\gamma c)$

其中 $u={\frac {dx}{dt}}$ 是经典速度。

其他四维矢量

这里是一些其他的四维矢量（使用第一个形式表示）

• 四维位置矢量 
  $X=(x_{1},x_{2},x_{3},ct)$
• 四维波矢量
  $K=(k_{1},k_{2},k_{3},{\frac {\omega }{c}})$
• 四维梯度矢量
  $K=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}},{\frac {\partial }{\partial x_{4}}})$

广义相对论

存在两种方法来解决自然规律发现的问题

1. 第一种方法可以被称为

"现象学"。量子力学就是一个现象学理论的很好的例子。这种方法是从已知的事实（来自实验）推断出规律。可观察的概念成为基本的概念。

1. 还存在另一种方法，它不太"人类中心主义"，其优点在 17 世纪就被笛卡尔等哲学家所强调。

这种方法被称为先验方法。爱因斯坦在提出他的相对论时就使用了这种方法。它从被认为是正确的原理出发，寻找符合这些原理的规律。

以下是一些广义相对论的基本假设

假设：广义相对性原理：自然界的所有规律都与任何连续坐标系变换相关。 <ref>狭义相对论只指出相对于洛伦兹变换的协变性（参见（参考文献）），而经典力学只指出相对于伽利略变换的协变性。<\ref>

假设：规律公式的最大逻辑简单性原理：时空的所有几何性质都可以用微分张量 $S$ 来描述。这个张量

1. 在四维黎曼空间中表示，该空间的度量由张量 $g_{ij}$ 定义
2. 是一个二阶张量，记作 $S_{ij}$
3. 是 $g_{ij}$ 的函数，不包含任何大于二阶的偏导数，并且对二阶偏导数是线性的。

假设：张量 $S_{ij}$ 的散度为零。

假设：空间弯曲是由物质引起的

${\mbox{ Curvature }}={\mbox{ Matter }}$

或者，使用张量

$S_{ij}=T_{ij}$

爱因斯坦强烈地相信这些假设。另一方面，他认为引力场的模型需要改进。从这些假设中，可以推导出爱因斯坦方程：可以证明，任何满足这些假设的张量 $S_{ij}$

$S_{ij}=a(R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R-\lambda g_{ij})$

其中 $a$ 和 $\lambda$ 是两个常数，$R_{ij}$ 是里奇曲率张量，$R$ 是标量曲率，它们都是由 $g_{ij}$ 张量定义的。爱因斯坦方程对应于 $a=1$。常数 $\lambda$ 称为宇宙常数。物质张量不是从假设所隐含的对称性推导出来的，正如 $S_{ij}$ 曲率张量一样。请参考 参考文献）了解如何对物质张量进行建模。总之，$S_{ij}$ 曲率张量和物质张量之间存在着很大的差异。爱因斯坦将这两个术语对立起来，认为曲率项光滑如金，而物质项粗糙如木。