经典力学中的数学物理/统计物理/正则系综简介

考虑一个只有能量固定的系统。该系统处于量子态$(l)$的能量为$E_{l}$的概率（见上一节）由下式给出：

$P_{l}={\frac {1}{Z}}e^{-E_{l}/k_{B}T}$

考虑对同一系统的经典描述。例如，考虑一个由$N$个粒子组成的系统，这些粒子的位置和动量分别记为$q_{i}$和$p_{i}$，由经典哈密顿量$H(q_{i},p_{i})$描述。经典概率密度$w^{c}$定义为

eqdensiprobaclas

$w^{c}(q_{i},p_{i})={\frac {1}{A}}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}$

量$w^{c}(q_{i},p_{i})dq_{i}dr_{i}$代表系统处于超平面$q_{i},p_{i}$和$q_{i}+dq_{i},p_{i}+dp_{i}$之间的相空间体积内的概率。归一化系数$Z$和$A$成正比。

$A=\int dq_{1}...dq_{n}\int dp_{1}...dp_{n}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}$

可以证明[ph:physt:Diu89]，

$Z={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3N}}}A$

$2\pi \hbar ^{N}$ 是一种量子态体积。

说明

这个量子态体积对应于海森堡不确定性原理在相空间中允许的最小精度

\index{海森堡不确定性原理}

$\Delta x\Delta p>\hbar$

经典方法提供的配分函数因此变为

$Z={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{N}}}\int dq_{1}...dq_{n}\int dp_{1}...dp_{n}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}$

但是这种从量子描述到经典描述的转换技术会带来一些兼容性问题。例如，在量子力学中，存在一个允许处理相同粒子集合情况的假设。直接应用公式eqdensiprobaclas会导致错误的结果（吉布斯悖论）。在相同粒子的经典处理中，必须在其他统计力学假设中人工添加一个假设。

假设

两个状态如果仅仅在排列上不同，则不视为不同的状态。

这会导致一个包含$N$个相同粒子的系统的经典配分函数

$Z={\frac {1}{N!}}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3N}}}\int \prod dp_{i}^{3}dq_{i}^{3}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}$