数学物理导论/拓扑空间

定义

对我们来说，拓扑空间是一个赋予了以下意义的空间

$\lim u_{n}=u.$

实际上，极限的最一般概念是在拓扑空间中表达的

定义

一个拓扑空间中的点序列$u_{n}$ 具有极限$l$，如果$l$ 的每个邻域都包含该序列在某个秩之后的所有项。

距离和度量

定义

集合$E$ 上的距离是从$E\times E$ 到$R^{+}$ 的一个映射$d$，对于$E$ 中的任意$x,y,z$，它验证了

$d(x,y)=0$ 当且仅当$x=y$。 $d(x,y)=d(y,x)$。 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

定义

度量空间是一个由集合 $A$ 和距离 $d$ 在 $A$ 上组成的对 $(A,d)$.

每个度量空间都对应一个拓扑空间。在这篇文章中，考虑的所有拓扑空间都是度量空间。在度量空间中，收敛序列只有一个极限（拓扑是分离的）。

当需要通过逐步逼近来计算像 $\pi$ 这样的无法通过整数系数方程求解的数字时，以及更普遍地，当人们想知道一个越来越“接近”的数字序列是否收敛时，人们引入了柯西序列的概念。

定义

令 $(A,d)$ 是一个度量空间。如果 $\forall \epsilon >0\exists n,\forall (p,q),p>n,q>n,d(x_{p},x_{q})<\epsilon$，则称 $A$ 中的元素序列 $x_{n}$ 为柯西序列。

任何收敛序列都是柯西序列。反过来，在一般情况下不成立。实际上，存在一些空间，其中存在不收敛的柯西序列。

定义

如果 $A$ 中的任何柯西序列都在 $A$ 中收敛，则称度量空间 $(A,d)$ 是完备的。

空间 $R$ 是完备的。有理数空间 $Q$ 不是完备的。实际上，序列 $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ 是柯西序列，但它在 $Q$ 中不收敛。它在 $R$ 中收敛于 $e$，这表明 $e$ 是无理数。

定义

赋范向量空间是指具有范数的向量空间。

范数诱导出距离，因此赋范向量空间也是拓扑空间（可以讨论序列的极限）。

定义

分离预希尔伯特空间是一个具有标量积的向量空间$E$。

因此，它是通过使用与标量积相关的范数诱导的距离的度量空间。

定义

希尔伯特空间是一个完备的分离预希尔伯特空间。

平方可和函数的空间$L^{2}$是一个希尔伯特空间。

张量和度量

如果空间$E$具有度量$g_{ij}$，则方差可以很容易地改变。度量允许测量空间中两点之间的距离。两点$x_{i}$和$x_{i}+dx_{i}$之间的基本平方距离是

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g^{ij}dx_{i}dx_{j}$

协变分量$x_{i}$可以用反变分量表示

$x_{i}=g_{ij}x^{j}$

不变量$x^{i}y_{j}$可以写成

$x^{i}y_{j}=x^{i}g_{ij}y^{j}$

以及像$a_{i}^{j}$这样的张量可以写成

$a_{i}^{j}=g^{jk}a_{ik}$

分布意义上的极限

定义

设 $T_{\alpha }$ 是一个依赖于实参数 $\alpha$ 的分布族。当 $\alpha$ 趋于 $\lambda$ 时，分布 $T_{\alpha }$ 趋于分布 $T$，如果

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},\lim _{\alpha \rightarrow \lambda }<T_{\alpha },\phi >=<T,\phi >$

特别地，可以证明与函数 $f_{\alpha }$ 相关的分布，该函数验证

$f_{\alpha }(x)\geq 0$

$\int f_{\alpha }(x)dx=1$

$\forall a\geq 0,\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{|x|>a}f_{\alpha }(x)dx=0$

收敛到狄拉克分布。

figdirac

函数族 $f_{\epsilon }$，其中 $f_{\epsilon }$ 在区间 $[0,\epsilon ]$ 上为 $1/\epsilon$，在其他地方为零，当 $\epsilon$ 趋于零时，收敛到狄拉克分布。

图 figdirac 展示了这样一个函数族的例子。