数学物理导论/向量空间

定义

设 $K$ 为 $R$ 或 $C$。一个集合 $E$ 是一个向量空间，如果它具有由两个运算 $+$ 和 $.$ 定义的代数结构，使得 $E$ 中任意两个元素的线性组合都在 $E$ 内。更精确地说

定义

一个集合 $E$ 是一个向量空间，如果它具有由两个运算定义的代数结构，一个叫做组合律，记为 $+$，另一个叫做作用律，记为 $.$，这些运算满足

$(E,+)$ 是一个交换群。

$\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall x\in E\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$ $\forall x\in E,1.x=x$ 其中 $1$ 是 $.$ 运算的单位元素。

$\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall (x,y)\in E\times E(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x{\mbox{ and }}\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$

函数空间

定义

函数空间是具有向量空间结构的函数集合${\mathcal {F}}$。

在某个区间上连续的函数集合是一个函数空间。正函数集合不是一个函数空间。

定义

泛函$T$是${\mathcal {F}}$到$C$的映射。

$<T|\phi >$表示泛函$T$作用在函数$\phi$上得到的数。

定义

如果对于${\mathcal {F}}$中的任意函数$\phi _{1}$和$\phi _{2}$，以及任意复数$\lambda _{1}$和$\lambda _{2}$，都满足 

$<T|\lambda _{1}\phi _{1}+\lambda _{2}\phi _{2}>=\lambda _{1}<T|\phi _{1}>+\lambda _{2}<T|\phi _{2}>$

定义

空间${\mathcal {D}}$是无限可导且具有有界支撑的函数向量空间。