数值方法导论/积分

资源

• 梯形法则笔记
• 辛普森 1/3 法则笔记
• 龙贝格法则笔记
• 离散函数积分笔记

微积分基本定理指出微分和积分是互逆运算：当一个连续函数先被积分再被微分，或者反过来，都会得到原始函数。但是，被积函数 $f(x)$ 可能只在某些点已知，例如从实验或采样中测量的數據，这在计算机应用中很常见。 有时，即使知道被积函数的公式，也难以或不可能找到其在基本函数形式下的原函数，例如 $f(x)=exp(-x^{2})$ 的原函数，无法写成基本函数形式。 计算数值积分（近似值）可能比符号求解积分更容易。

http://mathworld.wolfram.com/NumericalIntegration.html

梯形法则

梯形法则将函数 $f(x)$ 曲线下的面积近似为梯形

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right].$

实际上，我们使用两个样本估计了平均函数值。

梯形法则属于一类称为牛顿-柯特斯公式的公式（在等间距点处评估被积函数）。 另一种看待它的方式是梯形法则用一阶多项式近似被积函数，然后将多项式在积分区间上积分，如图所示。

函数 f(x)（蓝色）用线性函数（红色）近似。

多段梯形法则可以通过使用一系列样本来提高近似值的精度

梯形法则在一系列样本（在本例中，是非均匀网格）上使用情况的说明。

让我们看看一个 例子，它近似计算了游泳池的面积。

辛普森 1/3 法则

辛普森法则是一种数值积分方法，它使用以下近似公式

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

辛普森法则可以通过将被积函数近似为二阶多项式（二次）函数来推导，如图所示

辛普森法则可以通过将被积函数 f (x)（蓝色）用二次插值函数 P(x)（红色）来推导。

$P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-x2-x3....-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

另一种看待它的方式是辛普森法则扩展了梯形法则，其中被积函数被二阶多项式近似。

提供了一个 辛普森法则的示例实现。

龙贝格法则

梯形法则产生的真实误差与段数的立方成反比。 理查森外推法 是一种序列加速方法，通过细化这些误差来获得更好的估计。 理查森外推法的实际应用是龙贝格积分。

提供了一个 几何示例。

http://www.oscer.ou.edu/AreaUnderCurveExample.pdf

离散函数的积分

具有不等段的梯形法则可用于积分离散函数，这些函数由一组数据点定义。 插值方法（例如多项式插值和样条插值）可以应用于找到函数轮廓，该轮廓可以作为连续函数进行积分。 此外，线性回归也可以用于相同的目的。

多维积分

蒙特卡洛方法是一种利用重复随机抽样获取数值结果的计算方法。对于估计多维积分，与使用一维方法的重复积分相比，蒙特卡洛方法在相同函数评估次数下可能获得更高的精度。

例如，我们可以估计 $\pi$ 的值，如 示例 中所示。

蒙特卡洛方法应用于近似 模板：Pi 的值。放置 30000 个随机点后，模板：Pi 的估计值在实际值的 0.07% 之内。这种情况发生的概率约为 20%。

计算机图形学中的 路径追踪算法 将蒙特卡洛方法应用于渲染 3D 场景。它使用重复随机采样来实现更精确的估计，使其成为现有的最精确的 3D 图形渲染方法之一 来源。