误差测量

在本课中，我们将学习如何量化误差。

学习目标

参考资料

真误差和相对真误差

真误差 ( $E_{t}$ ) 被定义为真值（精确值）与近似值之间的差。这种类型的误差只有在真值可用时才能测量。你可能会想，为什么我们使用近似值而不是真值？一个例子是，由于符号系统的限制或我们使用的物理存储的限制，真值无法精确表示。

true error ( $E_{t}$ ) = true value - approximate value

真误差不能说明误差的重要性。例如，测量人的体重时，0.1 磅的误差非常小，但测量药物剂量时，同样的误差可能是灾难性的。相对真误差 ( $\epsilon _{t}$ ) 被定义为真误差与真值的比率。

relative true error ( $\epsilon _{t}$ )   = true error / true value

通常我们不知道真值，尤其是在数值计算中。在这种情况下，我们将不得不使用仅使用近似值来量化误差。当使用迭代方法时，我们会在每次迭代结束时得到一个近似值。近似误差 ( $E_{a}$ ) 被定义为当前近似值与前一次近似值之间的差（即迭代之间的变化）。

approximate error ( $E_{a}$ ) = present approximation – previous approximation

类似地，我们可以通过将近似误差除以当前近似值来计算相对近似误差 ( $\epsilon _{a}$ )。

relative approximate error ( $\epsilon _{a}$ )  = approximate error / present approximation

假设我们的迭代方法随着迭代的进行会产生更好的近似值。通常我们可以设置一个可接受的容差，当相对近似误差足够小时，就可以停止迭代。我们通常根据有效数字的数量来设置容差 - 这些数字是有意义的，有助于它的精度。它对应于科学记数法中用于表示数字的尾数或尾数的数字数量。

最小化误差的近似规则如下：如果绝对相对近似误差小于或等于预定义的容差（通常以有效数字的数量表示），则已达到可接受的误差，无需再进行迭代。根据绝对相对近似误差，我们可以使用相同的公式推导出最少的有效数字。

 $|\epsilon _{a}|\leq 0.5\times 10^{2-m}\%$