数值方法导论/数值微分

数值微分

目标

• 解释数值微分的前向、后向和中心差分法的定义
• 找到连续函数的一阶导数的近似值
• 推断数字的精度
• 找到离散函数的一阶导数的近似值（在离散数据点给出）

资源

• numpy
• 数值微分

前向差分法

$f^{'}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+O(h)$

以下代码实现了此方法

from math import exp

def forward_diff(f, x, h=0.0001):
  df = (f(x+h) - f(x))/h
  return df

x = 0.5
df = forward_diff(exp, x)
print 'first derivative = ', df
print 'exp(', x, ') = ', exp(x)

后向差分法

$f^{'}(x)={\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}+O(h)$

以下代码实现了此方法

from math import exp

def backward_diff(f, x, h=0.0001):
  df = (f(x) - f(x-h))/h
  return df

x = 0.5
df = backward_diff(exp, x)
print 'first derivative = ', df
print 'exp(', x, ') = ', exp(x)

中心差分法

$f^{'}(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+O(h^{2})$

以下代码实现了此方法

from math import exp

def center_diff(f, x, h=0.0002):
  df = (f(x+h) - f(x-h))/(2.0*h)
  return df

x = 0.5
df = center_diff(exp, x)
print 'first derivative = ', df
print 'exp(', x, ') = ', exp(x)

二阶导数

$f^{''}(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}+O(h^{2})$

泰勒级数

泰勒级数 允许我们将函数展开成无限级数。如果函数在数字 h 处无限可微，我们可以使用泰勒级数来近似该函数。我们可以使用泰勒级数推导出后向、前向和中心差分法，这也给出了近似误差的定量估计。

$f(x+h)=f(x)+f^{'}(x)h+{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}h^{2}+{\frac {f^{(3)}(x)}{3!}}h^{3}+\cdots \quad$

例如，$sin(x)$ 函数可以用截断的泰勒级数来近似

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\!$

步长影响

以下是使用不同h值，通过中心差分公式计算x=0.5时$e^{x}$的一阶导数的程序。结果表明，随着步长的减小，近似值变得更加准确（有效数字更多），但当步长过小时，舍入误差变得显著。

from math import exp

def center_diff(f, x, h=0.0001):
  df = (f(x+h) - f(x-h))/(2.0*h)
  return df

x = 0.5
df = center_diff(exp, x)
print 'first derivative = ', df
print 'exp(', x, ') = ', exp(x)

h=0.125
for i in range(50):
  df = center_diff(exp, x, h)
  print "h=", h, "df=", df
  h = h/2.0