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一个微分方程是一个将某个函数与其导数联系起来的方程。这种关系通常存在于动态系统建模中，其中一个量的变化率受另一个量的影响，该量可以是其他量的函数。因此，微分方程通常用于在许多学科中数学地表示这些关系，包括工程、物理学、经济学和生物学。我们将重点关注常微分方程，它不涉及偏导数。

微分方程的解是满足该方程的函数或函数集。一些具有明确公式的简单微分方程可以通过解析方法求解，但我们始终可以使用数值方法使用计算机以一定精度来估计答案。

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初始值问题

一阶微分方程的一般形式： $y'=f(x,y)$ 或 $y'=f(x,y(x))$ 。解包含一个任意常数（积分常数），因为 $z(x)=y(x)+c$ 满足所有微分方程 $y(x)$ 满足。使用辅助条件，例如 y(a)=b，我们可以解出 y'=F(x, y)。这被称为初始值问题。

函数 $f(x)$ 的不定积分是一类函数 $F(x)$ ，使得 $F'(x)=f(x)$ 。不定积分也称为反导数。函数在固定区间上的定积分是一个数字。

与积分的联系

计算积分 $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ 是要找到一个 $F(x)$ 满足条件 ${\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)$ ， $F(a)=0$ 。换句话说，积分可以用来解出具有初始条件的微分方程。

欧拉方法

欧拉方法使用逐步方法来解决具有初始条件的常微分方程。

给定 ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ 和 $y(x_{0})=y_{0}$ ( $x$ 是自变量， $y$ 是因变量) 欧拉方法求解 $y_{i}$ 对于 $x=x_{i}$ .

欧拉方法可以通过多种方式推导出来。让我们看看一个地理描述。

鉴于在特定点 $(x_{i},y_{i})$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ ，我们可以用 ${\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}$ 来近似 $f(x_{i},y_{i})$ 。导数表示 $y$ 在 $x$ 处的瞬时（连续发生）变化。

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {dy}{dx}}=y'(x)

$y$ 在 $x$ 上的平均变化是

{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

,

它表示变化的离散形式（随时间的“步长”变化）。如果 $x$ 的变化足够小，则两者中的任何一个都可以用来近似另一个。

假设我们知道未知曲线的导数函数，并想找到曲线的形状（满足微分方程的函数）。我们可以从一个已知点开始，使用微分方程作为公式来获得曲线上任意点的切线的斜率，并沿着该切线走一小步，直到下一个点。如果步长足够小，我们可以预期下一个点会靠近曲线。如果我们假装该点仍在曲线上，就可以使用相同的方法来找到下一个点，以此类推。在图形上，我们使用多项式来近似未知曲线。两条曲线之间的间隙代表近似的误差，可以通过缩短步长来减少误差。

我们刚刚推导出欧拉方法的公式