谓词逻辑/量词逻辑导论

谓词逻辑，也称为量词逻辑，是现代形式逻辑或符号逻辑的一部分，它系统地展示了句子之间逻辑关系的体系，这些逻辑关系纯粹是由于谓词或名词表达式通过量词（如“所有”和“一些”）在主体范围内分布的方式而产生的，而与任何特定谓词的意义或概念内容无关。此类谓词可以包括性质和关系；在称为函数演算的高阶形式中，它还包括函数，这些函数是具有一个或多个变量的“框架”表达式，只有当变量被特定项替换时，它们才能获得确定的真值。谓词逻辑要区别于命题逻辑，命题逻辑处理的是由连接词（如“和”、“如果…那么”和“或”）连接起来的未分析的完整命题。

传统的三段论是最著名的谓词逻辑示例，但它并不涵盖所有内容。在诸如“所有 C 都是 B，并且没有 B 是 A，所以没有 C 是 A”之类的论证中，两个前提的真值需要结论的真值，这是由于谓词 B 和 A 分别相对于 C 和 B 指定的类别进行分布的方式。例如，如果谓词 A 只属于 B 中的一个，那么结论就可能为假——一些 C 可能是一个 A。

现代符号逻辑，其中包含谓词逻辑，并不局限于传统的三段论形式或其符号体系，其中已设计出许多种符号体系。谓词逻辑通常建立在某种形式的命题逻辑之上。然后，它通过参考谓词在句子中分布的不同方式，对它包含或处理的句子类型进行分类。例如，它区分以下两种句子类型：“所有 F 要么是 G 要么是 H”和“一些 F 既是 G 又是 H”。基本句子类型的真假条件被确定，然后进行交叉分类，将可以算入逻辑中的句子分为三个相互排斥的类别——（1）那些在所有可能的谓词符号意义指定下都为真的句子，如“所有事物要么是 F，要么不是 F”；（2）那些在所有此类指定下都为假的句子，如“某些事物既是 F 又不是 F”；以及（3）那些在一些指定下为真而在另一些指定下为假的句子，如“某些事物既是 F 又是 G”。这些分别是谓词逻辑中的永真式、矛盾式和偶然式句子。某些永真式句子类型可以被选为公理或作为变换各种句子类型符号的规则的基础；然后可以制定相当例行和机械的程序来决定给定的句子是永真式、矛盾式还是偶然式——或者给定的句子是否以及如何与其他句子在逻辑上相关。可以设计此类程序来决定任何不包含对谓词本身进行范围限定的谓词（函数）的谓词逻辑中的每个句子的逻辑属性和关系——即任何一阶或更低阶的谓词逻辑。

另一方面，包含对谓词进行自由范围限定的谓词的逻辑——称为高阶逻辑——不允许通过此类例行程序对所有句子进行分类。正如 20 世纪摩拉维亚裔美国数学逻辑学家库尔特·哥德尔所证明的那样，这些逻辑，如果是一致的，总是包含一些公式，它们本身或它们的否定不能通过逻辑的规则推导出（证明为永真式）。这些逻辑在精确的意义上是不完备的。然而，高阶逻辑的各种限制形式已被证明能够对所有公式进行例行决策程序。