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模态

罗伯特手持《蚱蜢沉重》一书，说道：“这本书描述的是什么样的替代现实？”
贝蒂沉吟片刻，说道：“一个德国和日本战败的现实。”
他们都沉默了。
(菲利普·K·迪克，《高堡奇人》)

这就是模态逻辑的基本前提：有些事情本来可能不同。
在我们日常推理中，我们区分了必然的真理和仅仅是真实的但本来可能是假的陈述。我们说后者是偶然的真，或者说它们的否定是可能的。必然、偶然、可能和不可能的概念密切相关：如果某事是不可能是假的，那么它就是必然的，如果某事的虚假不是必然的，那么它就是可能的。偶然是必然的否定，不可能是可能的否定。
模态逻辑试图将模态的概念（必然、偶然、可能和不可能等）纳入经典逻辑（命题逻辑和谓词演算）的结构中，因此是经典逻辑的扩展。

模态命题演算

语法

模态逻辑在经典逻辑中引入了三个新符号：$\Box$（必然）、$\Diamond$（可能）和$\Rightarrow$（如果，那么）。公式以通常的方式构建，但在闭包条款之前添加以下规则（参见命题演算中合式公式的规则）。

• 如果$\alpha$是一个合式公式，那么$\Box \alpha$和$\Diamond \alpha$也是合式公式。
• 如果$\alpha$和$\beta$是合式公式，那么$\alpha \Rightarrow \beta$也是一个合式公式。

事实上，人们可以使用仅 $\Box$ 或 $\Diamond$ 的公理化方式来定义模态命题演算。例如，如果我们希望用 $\Box$ 来定义 $\Diamond$ 和 $\Rightarrow$，$\Diamond \alpha$ 可以简单地定义为 $\neg \Box \neg \alpha$ 的简写符号，而 $\alpha \Rightarrow \beta$ 则是 $\Box (\alpha \rightarrow \beta )$ 的另一种写法。

参考文献

• 休斯，G. E.，& 克雷斯维尔，M. J.: 模态逻辑导论，梅休恩与公司有限公司，伦敦（1972）。
• 休斯，G. E.，& 克雷斯维尔，M. J.: 模态逻辑伴侣，梅休恩与公司有限公司，伦敦（1984）。
• 斯穆里安，R.: 永远未定（1987）。第九部分：可能世界。

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