哲学/逻辑导论/逻辑连接词的一些性质
∧ 和 ∨ 是可交换的
- p ∧ q 给出的结果与 q ∧ p 相同；
- p ∨ q 给出的结果与 q ∨ p 相同。
∧ 和 ∨ 是可结合的
- (p ∧ q) ∧ r 给出的结果与 p ∧ (q ∧ r) 相同；
- (p ∨ q) ∨ r 给出的结果与 p ∨ (q ∨ r) 相同。
∧ 对 ∨ 是分配的
- p ∧ (q ∨ r) 给出的结果与 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 相同；
- (p ∨ q) ∧ r 给出的结果与 (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) 相同。
∨ 对 ∧ 是分配的
- p ∨ (q ∧ r) 给出的结果与 (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 相同；
- (p ∧ q) ∨ r 给出的结果与 (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 相同。
我之所以说‘给出相同的结果’，是因为我们还没有谈到等式。
那些对抽象代数有所了解的人会认识到 ({T, F}, ∨, ∧) 是一个环 - 事实上它是一个具有单位元的交换环，并且只有两个元素，它是你能得到的尽可能简单的环，而不会完全平凡或退化。为了证明这一点，我们需要观察到，除了上面的可交换的、可结合的和分配的性质之外，
- F 充当零：对于任何 p ∈ {T, F}，F ∨ p 与 p 相同；
- T 充当一：T ∧ p 与 p 相同；
- F 是我们环中所有元素的 ∨-逆：p ∨ F 与 p 相同。
如果您不熟悉抽象代数，只需观察到，∨ 和 ∧ 与 T 和 F 的行为有点类似于数字的加法和乘法。注意，∨（‘或’）是对应于此类比中加法的连接词，即使我们经常在说‘加’的时候，实际是指‘加’，比如‘3 加 4 等于 7’。
我们的连接词 ∧ 和 ∨ 的行为就像一个环，这可以被认为是关于推理本质的一个有趣结果 - 它表明我们的命题演算具有类似于数学中其他结构的结构。