基础化学在线/水溶液

  第7章 水溶液

水是最非凡的溶剂！水中的O—H键由于氢和氧的电负性差异而极化。当这种不均匀的电荷分布与水具有“弯曲”分子几何形状的事实相结合时，两个共价键偶极子结合形成分子偶极子（如右侧的静电势图所示）。这种分子偶极子使水能够包围和稳定溶液中的离子，使水成为溶解极性和离子化合物的强大溶剂。如果我们知道我们溶解在给定体积溶剂中的溶质的量，我们就可以定义摩尔浓度的概念，作为每升溶液中溶质的摩尔数。最后，通过将摩尔浓度的概念与我们所学到的简单化学计量计算相结合，我们现在可以处理溶液中的定量化学计算。

  7.1 偶极矩和水的性质

水是一种神奇的溶剂，具有非凡的物理和化学性质，使其成为我们已知生命必不可少的成分。水的特殊性质来自于氢和氧元素具有不同的电负性。在第3章中，我们了解到在电负性不同的原子之间形成的共价键是极化的。因为电负性是衡量给定原子吸引电子到自身强度的指标，所以共价键中电负性最高的原子往往会将成键电子吸引到自身，导致键的一端富电子，另一端贫电子。极化的共价键被称为具有偶极，其中偶极矩指的是电荷分离的方向和大小。

以水为例。氢和氧的电负性分别为2.20和3.44。这意味着在每个共价键中，电子都会被吸引到氧原子，使氢原子贫电子。在第3章中，我们使用计算出的静电势图来可视化分子周围的电子密度。水的图示如左图所示，使用红色表示高电子密度，蓝色表示贫电子区域。由于电子带负电荷，这也意味着分子的红色区域是阴离子（负），蓝色区域是阳离子（正）。

  7.2 分子偶极

静电势图很有用，因为它们清楚地显示了分子内共价键周围的电子分布。但是，它们必须使用复杂的计算机程序计算，然后进行彩色渲染以进行可视化。因此，共价键的极化通常使用特殊的箭头（偶极箭头）来表示键极化的方向。偶极箭头在起点处带有一个交叉（如加号），并指向电子密度最大的方向。因此，对于氟化氢，氢和氟的电负性分别为2.20和3.98。我们预测H—F键将极化，电子密度最大地朝向氟。所得偶极矩如下所示。

像水这样的分子有两个共价键，将具有两个局部偶极子，每个偶极子都沿着共价键方向排列，如下所示。因为水是非对称的（它具有弯曲结构），所以这两个局部偶极子都指向相同的方向，产生一个分子偶极子，其中整个分子具有电荷不平衡， “氧端”为阴离子，“氢端”为阳离子。预测的分子偶极子也显示在图7.3中的静电势图中。

具有局部偶极子的分子不一定具有分子偶极子。考虑三氢化硼（BH₃）分子。BH₃分子是平面型的，所有三个氢原子均匀地分布在硼周围（三角平面型）。硼和氢的电负性分别为2.04和2.20。因此，BH₃中的键将略微极化，局部偶极子指向氢原子，如下所示。但是，由于分子是对称的，三个偶极箭头相互抵消，并且作为分子，BH₃没有净分子偶极子。

练习7.1 绘制分子偶极子

For each of the molecules shown below indicate whether a molecular dipole exists. If a dipole does exist, 
 use a dipole arrow to indicate the direction of the molecular dipole.

  7.3 离子化合物的溶解

简单的离子化合物，如氯化钠（NaCl），由钠阳离子和氯阴离子组成。由于它们是带相反电荷的离子，因此它们之间存在强烈的吸引力。这种吸引力是非特异性的，钠阳离子也会强烈地被任何阴离子吸引。当离子化合物溶解在水中时，单个阳离子和阴离子被水分子完全包围，但这些水分子并非随机取向。水中的钠阳离子将被水分子包围，这些水分子以分子偶极的负端与钠阳离子接触的方式排列。同样，围绕氯阴离子的水分子以分子偶极的正端与阴离子接触的方式排列(图7.5)。当这样排列时，水分子带电的极性中和，从而稳定离子上的电荷。

水与带电粒子相互作用并稳定带电粒子的能力远远超出了实际接触离子的水分子。围绕内部水壳的是另一层水，它们将以其偶极子与内部壳暴露的偶极子结合的方式排列。在图7.6中使用绘制图显示了围绕钠阳离子的“簇”水分子的一部分。随着后续层的水相互包围，阳离子的正电荷被分散或扩散到整个相互作用的分子组中。然后，该簇有效地变得中性，从而使带电离子能够自由存在于溶液中，并与其反离子（氯离子）分离。溶液中围绕离子的水分子动态集合称为溶剂化壳，正是水溶解和稳定离子的能力使水成为如此重要的溶剂，无论是在化学还是在生物学中。

除了离子化合物外，水还会溶解和稳定大多数极性分子，即如果它们具有分子偶极子。这方面的一个例子显示在图7.7中。有机化合物丙酸甲酯含有高度极性的碳氧双键。图中的静电势图清楚地显示了所得的分子偶极子，丙酸甲酯在水中相当可溶；6.2克丙酸甲酯可溶解在100毫升水中。图中所示的有机分子丙烷没有明显的分子偶极子，在水中仅微溶。

  7.4 浓度和摩尔浓度

如上一节所述，氯化钠在水中相当可溶。在25 ˚C（大约室温）下，359克氯化钠可溶解在一升水中。如果您要向溶液中添加更多氯化钠，它将不会溶解，因为给定体积的水只能溶解、分散和稳定固定量的溶质（溶解的物质）。对于每种化合物，此数量都不同，并且取决于特定化合物的结构以及该结构如何与溶剂化壳相互作用。当物质溶解在水中达到不再溶解的程度时，我们称该溶液为饱和溶液。对于大多数化合物，加热溶液将允许更多物质溶解，因此在谈论特定化合物的溶解度时，务必注意温度。

如果我们有25 ˚C下氯化钠的饱和溶液，我们可以将浓度表示为359克/升，但由于我们知道氯化钠的摩尔质量（58.44克/摩尔），我们也可以将浓度表示为

$\left({\frac {\left(3{\text{59 g}}\right)\times \left({\frac {1{\text{ mole}}}{{\text{58}}{\text{.44 g}}}}\right)}{1{\text{ L}}}}\right)=6.14{\text{ }}{}^{\text{moles}}\!\!\diagup \!\!{}_{\text{L}}\;$

在化学中，摩尔/升的单位称为摩尔浓度，缩写为M。因此，我们可以说我们的氯化钠饱和溶液为6.14摩尔或6.14 M。

用摩尔浓度表示浓度的优点是，这些溶液现在可以用于化学计量已知的化学反应，因为溶液的任何体积都直接对应于特定化合物的已知摩尔数。例如，溴化钾的摩尔质量为119.0 g/摩尔。如果我们将119.0克KBr溶解在1.000升水中，则浓度将为1.000摩尔/升或1.000 M。如果我们现在取此溶液的一半（0.500升），我们知道我们也将有0.500摩尔的KBr。

我们可以使用我们在第1章中介绍的解题算法来确定溶液的浓度。例如，如果您想找到1.00升水中含有42.8克KBr的溶液的摩尔浓度，您将识别给定为42.8 g，您的比率为摩尔质量（119 g/摩尔），并且您想要找到摩尔浓度（或摩尔/升）。记住设置方程，以便给定的单位出现在比率的分母中，摩尔数为

$\left(4{\text{2}}{\text{.8 g}}\right)\times \left({\frac {1{\text{ mole}}}{\text{119 g}}}\right)=0.360{\text{ moles}}$

并且，摩尔浓度为：$\left({\frac {0.{\text{360 mole}}}{{\text{1}}{\text{.00 L}}}}\right)=0.360{\text{ }}{}^{\text{moles}}\!\!\diagup \!\!{}_{\text{L}}\;$，或0.360 M

当您对简单的两步法感到满意时，您可以合并步骤，只需将给定的质量除以给定的体积即可直接获得结果。因此，如果您在0.0230升水中含有1.73克KBr，则您的浓度将为

$\left({\frac {\left(1.{\text{73 g}}\right)\times \left({\frac {1{\text{ mole}}}{\text{119 g}}}\right)}{0.{\text{0230 L}}}}\right)=0.632{\text{ }}{}^{\text{moles}}\!\!\diagup \!\!{}_{\text{L}}\;{\text{, or, 0}}{\text{.632 M}}$

我们还可以反向解决这些问题，即，将摩尔浓度转换为质量。例如；确定1.05 M KBr溶液72.5 mL中存在的KBr克数。这里我们给定0.0725 L的体积，我们的比率是摩尔浓度，或（1.05摩尔/升）。我们首先求解摩尔数，

${\text{0}}{\text{.0725 L }}\times {\text{ }}\left({\frac {1.{\text{05 mole}}}{{\text{1}}{\text{.00 L}}}}\right)=0.0761{\text{ moles}}$

然后使用以下公式转换为质量：${\text{0}}{\text{.0761 moles }}\times {\text{ }}\left({\frac {1{\text{19 grams}}}{\text{1 mole}}}\right)=9.06{\text{ grams of KBr}}$。

例7.1 摩尔浓度计算

A sample of 12.7 grams of sodium sulfate (Na2SO4) is dissolved in 672 mL of distilled water. 
 a. What is the molar concentration of sodium sulfate in the solution? 
 b. What is the concentration of sodium ion in the solution?

练习7.2 摩尔浓度计算

Calculate the mass of sodium chloride required to make 125.0 mL of a 0.470 M NaCl solution.
If you dissolve 5.8g of NaCl in water and then dilute to a total of 100.0 mL, what will be 
 the molar concentration of the resulting sodium chloride solution?

  7.5 溶液化学计量学

正如我们在第5章中学到的，复分解反应涉及溶液中离子化合物的反应，并且在反应过程中，两种反应化合物中的离子被“交换”（它们取代彼此）。例如，硝酸银和氯化钠反应生成硝酸钠和不溶性化合物氯化银。

AgNO₃ (aq) + NaCl (aq) → AgCl (s) + NaNO₃ (aq)

由于这些反应发生在水溶液中，我们可以使用摩尔浓度的概念来直接计算将形成的产物的摩尔数，从而计算沉淀物的质量。在上面显示的反应中，如果我们将123 mL的1.00 M NaCl溶液与72.5 mL的2.71 M AgNO₃溶液混合，我们可以计算出如下形成的AgCl的摩尔数（以及质量）

首先，我们必须检查反应化学计量。在这个反应中，一摩尔的AgNO₃与一摩尔的NaCl反应生成一摩尔的AgCl。因为我们的比率为一，所以我们不需要将它们包含在方程式中。接下来，我们需要计算每种反应物的摩尔数

${\text{0}}{\text{.123 L }}\times {\text{ }}\left({\frac {1.{\text{00 mole}}}{{\text{1}}{\text{.00 L}}}}\right)=0.123{\text{ moles NaCl}}$

${\text{0}}{\text{.0725 L }}\times {\text{ }}\left({\frac {2.{\text{71 mole}}}{{\text{1}}{\text{.00 L}}}}\right)=0.196{\text{ moles AgNO}}_{\text{3}}$

由于这是一个**限量反应物**问题，我们需要记住，可以形成的产物摩尔数将等于两种反应物摩尔数中**较小**的那个。在本例中，NaCl 是限量反应物，AgNO₃ 过量。因为我们的化学计量是 1:1 的，所以我们将形成 0.123 摩尔的 AgCl。最后，我们可以使用 AgCl 的摩尔质量将其转换为质量。

${\text{0}}{\text{.0725 L }}\times {\text{ }}\left({\frac {2.{\text{71 mole}}}{{\text{1}}{\text{.00 L}}}}\right)=0.196{\text{ moles AgNO}}_{\text{3}}$

在化学计量不是 1:1 的反应中，您只需要在方程式中包含化学计量比即可。因此，对于硝酸铅 (II) 和碘化钾之间的反应，每形成 1 摩尔的碘化铅 (II) 就需要 2 摩尔的碘化钾。

Pb(NO₃)₂ (aq) + 2 KI (aq) → PbI₂ (s) + 2 KNO₃ (aq)

例如：1.78 克硝酸铅 (II) 溶解在 17.0 毫升水中，然后与 25.0 毫升 2.5 摩尔/升的碘化钾溶液混合。将形成多少**质量**的碘化铅 (II)，溶液中硝酸钾的**最终浓度**是多少？同样，我们需要将其视为一个限量反应物问题，并首先计算每种反应物的摩尔数。

${\text{1}}{\text{.78 g}}\times \left({\frac {1.{\text{00 mole}}}{{\text{331}}{\text{.2 g}}}}\right)=5.37\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ moles Pb(NO}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{2}}$

${\text{0}}{\text{.0025 L }}\times {\text{ }}\left({\frac {2.{\text{50 mole}}}{\text{1 L}}}\right)=6.25\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ moles KI}}$

此反应的化学计量由比率$\left({\frac {{\text{1 mole PbI}}_{\text{2}}}{2{\text{ mole KI}}}}\right)$和$\left({\frac {1{\text{ mole PbI}}_{\text{2}}}{{\text{1 mole Pb(NO}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{2}}}}\right)$给出，因此，由每种反应物形成的产物摩尔数计算如下：

$\left({\frac {1{\text{ mole PbI}}_{\text{2}}}{{\text{1 mole Pb(NO}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{2}}}}\right)$

$6.25\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ moles KI}}\times {\text{ }}\left({\frac {1{\text{ mole PbI}}_{\text{2}}}{\text{2 moles KI}}}\right)=3.12\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ moles PbI}}_{\text{2}}$

碘化钾产生较少的 PbI₂，因此是**限量**反应物，硝酸铅 (II) 过量。然后根据摩尔数和摩尔质量计算产生的碘化铅 (II) 的质量。

${\text{3}}{\text{.12}}\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ 摩尔 }}\times {\text{ }}\left({\frac {4{\text{61 克}}}{\text{1 摩尔}}}\right)=1.44{\text{ 克 PbI}}_{\text{2}}$

为了确定最终溶液中硝酸钾的浓度，我们需要注意到每摩尔 PbI₂ 会生成两摩尔硝酸钾，或者说它们的化学计量比为 $\left({\frac {2{\text{ 摩尔 KNO}}_{\text{3}}}{{\text{1 摩尔 PbI}}_{\text{2}}}}\right)$。我们的最终体积为 (17.0 + 25.0) = 42.0 毫升，硝酸钾的浓度计算如下：

${\frac {3.12\times {\text{10}}^{\text{-3}}{\text{ 摩尔 PbI}}_{\text{2}}\times {\text{ }}\left({\frac {2{\text{ 摩尔 KNO}}_{\text{3}}}{{\text{1 摩尔 PbI}}_{\text{2}}}}\right)}{0.0420{\text{ 升}}}}={}^{0.148{\text{ 摩尔 KNO}}_{\text{3}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\text{升}}\;{\text{，或者，0}}{\text{.148 M}}$

示例 7.2 溶液化学计量计算

A sample of 12.7 grams of sodium sulfate (Na2SO4) is dissolved in 672 mL of distilled water. 
 a. What is the molar concentration of sodium sulfate in the solution? 
 b. What is the concentration of sodium ion in the solution?

练习 7.3 溶液化学计量计算

How many moles of sodium sulfate must be added to an aqueous solution that contains 2.0 moles of barium
 chloride in order to precipitate 0.50 moles of barium sulfate? 

如果 1.0 克 NaN₃ 与 25 毫升 0.20 摩尔/升 NaNO₃ 溶液根据以下所示反应进行反应，会生成多少摩尔的 N₂(g)？
下面是反应式：

5 NaN₃(s) + NaNO₃(aq) → 3 Na₂O(s) + 8 N₂(g)

  7.6 浓溶液的稀释

在实验室中，化学家通常会从标准储备溶液开始制备已知浓度的溶液。储备溶液通常浓度较高，当然，溶质的摩尔浓度必须已知。为了进行反应，将从该储备溶液中取出一定量的溶液并加入到另一种反应物中，或者稀释到更大的体积中以用于其他用途。这些稀释涉及的计算非常简单，只需计算转移的摩尔数，然后将其除以最终体积即可。例如，取出 15.0 毫升 1.00 摩尔/升盐酸 (HCl) 储备溶液，并稀释到 75 毫升蒸馏水中；最终盐酸的浓度是多少？

首先，根据添加的体积和储备溶液的浓度计算 HCl 的摩尔数：

${\text{0}}{\text{.0150 升}}\times \left({\frac {{\text{1}}{\text{.00 摩尔}}}{\text{1 升}}}\right)=0.0150{\text{ 摩尔 Hcl}}$

我们将这些摩尔数的 HCl 稀释到 (15.0 + 75.0) = 90.0 毫升中，因此 HCl 的最终浓度由下式给出：

$\left({\frac {0.0150{\text{ 摩尔 HCl}}}{{\text{0}}{\text{.0900 升}}}}\right)=\left({}^{{\text{0}}{\text{.167 摩尔 HCl}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\text{升}}\;\right){\text{，或者 0}}{\text{.167 M}}$

解决这类问题的更简单方法是将储备溶液的初始浓度乘以等分试样（从储备溶液中取出的量）与最终体积的比率，使用公式 7.1：

$\left({\text{储备溶液浓度}}\right)\times \left({\frac {\text{等分试样体积}}{\text{最终体积}}}\right)={\text{最终浓度}}$ 公式 7.1

将此方法应用于前面的问题：

$\left({\text{1}}{\text{.00 M}}\right)\times \left({\frac {{\text{15}}{\text{.0 毫升}}}{{\text{90}}{\text{.0 毫升}}}}\right)={\text{0}}.167{\text{ M}}$

请注意，当我们使用这种方法时，不必将体积（15.0 和 90.0 毫升）转换为升，因为体积单位在公式中会相互抵消。如果给出等分试样和最终体积的单位不同，则可能需要使用公制换算比率。例如，将 10.0 微升 1.76 摩尔/升 HNO₃（硝酸）溶液稀释到 10.0 毫升蒸馏水中；硝酸的最终浓度是多少？

在本题中，我们需要将µL和mL转换为一个共同的单位。我们可以使用以下比率来实现这一点：$\left({\frac {10^{-6}{\text{ L}}}{{\text{1 }}\mu {\text{L}}}}\right){\text{ and }}\left({\frac {10^{-3}{\text{ L}}}{\text{1 mL}}}\right)$。我们需要将每个体积乘以相应的因子，以得到以升为单位的体积，然后简单地乘以初始浓度。因此，

$1.76{\text{ M}}\times \left\{{\frac {10.0{\text{ }}\mu {\text{L}}\left({\frac {10^{-6}{\text{ L}}}{{\text{1 }}\mu {\text{L}}}}\right)}{10.0{\text{ mL}}\left({\frac {10^{-3}{\text{ L}}}{\text{1 mL}}}\right)}}\right\}=1.76\times 10^{-3}{\text{ M}}$

本题中的最终体积实际上是(1.00  10^-2 L) + (1.00  10^-5 L) = 1.001  10^-2 L，但由于我们的计算仅精确到三位有效数字，因此等分试样的体积并不重要，最终体积已四舍五入。

我们在此使用的标准方法也可以适用于需要找到必须稀释到一定体积以产生给定浓度溶液的储备溶液体积的问题类型。例如，需要多少体积的0.029 M CaCl₂必须稀释到恰好0.500 L，才能得到50.0 µM的溶液？

为了用最简单的术语解决这个问题，我们应该重新检查公式7.1。

$\left({\text{stock concentration}}\right)\times \left({\frac {\text{volume of the aliquot}}{\text{final volume}}}\right)={\text{final concentration}}$

此公式可以改写为

$\left({\frac {\text{volume of the aliquot}}{\text{final volume}}}\right)=\left({\frac {\text{final concentration}}{\text{stock concentration}}}\right)$

或者，

$\left({\frac {V}{V_{f}}}\right)=\left({\frac {C_{f}}{C_{i}}}\right)$

其中C_i 和C_f分别表示储备和最终浓度，V是等分试样的体积，V_f是溶液的最终体积。换句话说，这只是一组比率；等分试样与最终体积，以及最终浓度与初始浓度（在操作上，这些比率将始终为“小值/大值”）。使用这组比率，我们可以直接解决以下类型的问题

首先，我们需要将最终浓度（50.0 µM）转换为M，以匹配储备溶液的单位。µ的度量乘数为10^-6，使我们的最终浓度为50.0  10^-6 M，或者更准确地说，为5.00  10^-5 M。因此，我们的公式为

$\left({\frac {V}{0.500{\text{ L}}}}\right)=\left({\frac {5.00\times 10^{-5}{\text{ M}}}{0.029{\text{ M}}}}\right)$

或者，

$V=\left({\frac {5.00\times 10^{-5}{\text{ M}}}{0.029{\text{ M}}}}\right)\times 0.500{\text{ L}}$

等分试样的体积V为8.62  10^-4 L，或者使用转换因子$\left({\frac {{\text{10}}^{\text{3}}{\text{ mL}}}{\text{1 L}}}\right)$，所需的体积为0.86 mL（母液浓度0.029 M只有两位有效数字）。

稀释问题可以使用公式7.1直接求解，或者，随着你对数学的熟悉，可以使用像本题中那样使用初始和最终的比率（记住，两个比率中的数字是“小/大”）。

示例7.3 系列稀释

A 1.50 mL aliquot of a 0.177 M solution of sulfuric acid (H2SO4) is diluted into 10.0 mL of distilled water, 
 to give solution A. A 10.0 mL aliquot of A is then diluted into 50.0 mL of distilled water, to give 
 solution B. Finally, 10.0 mL of B is diluted into 900.0 mL of distilled water to give solution C. 
 Additional distilled water is then added to C to give a final volume of 1.0000 L. What is the final 
concentration of sulfuric acid in solution C?

例7.4 系列稀释

A solution was prepared by mixing 250 mL of 0.547 M NaOH with 50.0 mL of 1.62 M NaOH and then diluting to a
 final volume of 1.50 L. What is the molarity of Na+ in this solution?
To what final volume should 75.00 mL of 0.889 M HCl(aq) be diluted to prepare 0.800 M HCl(aq)?

  学习要点

• 在电负性不同的原子之间形成的共价键是极化的，导致键的一端富电子，另一端缺电子。极化的共价键被称为具有偶极，其中偶极矩指的是电荷分离的方向和大小。
• 如果分子是不对称的（例如具有弯曲结构的分子），共价键上的局部偶极子可以结合，产生分子偶极子，其中整个分子在电子分布方面存在不平衡。这可以用偶极箭头（带正端）表示分子中电荷分离的方向。
• 如果分子是对称的（例如BH₃，它是平面三角形的），与共价键相关的各个偶极子相互抵消，留下一个没有分子偶极子的分子。
• 水具有明显的分子偶极子，使其能够与其他极性分子以及离子化合物中的单个离子发生强烈的相互作用。因此，水能够破坏化合物中离子之间的静电吸引，并将离子转移到溶液中。在溶液中，阳离子将被溶剂化层包围，其中水分子定向使得水分子负端与阳离子相互作用。同样，水的正端将包围和溶剂化阴离子。
• 摩尔浓度简单地定义为溶质的摩尔数溶解在一升溶剂中，或者$\left({}^{moles}\!\!\diagup \!\!{}_{L}\;\right)$。摩尔浓度的缩写为大写M。
• 你应该记住，浓度乘以体积得到溶质的摩尔数；$\left({}^{moles}\!\!\diagup \!\!{}_{L}\;\right)\times L=moles$。
• 当你得到以克为单位的溶质量时，记住，质量除以摩尔质量得到摩尔数。将其除以体积（以升为单位）得到摩尔浓度；${\frac {\left({\frac {grams}{{}^{grams}\!\!\diagup \!\!{}_{mole}\;}}\right)}{L}}=molarity$。
• 在标准溶液中，我们只需知道溶质的摩尔浓度。因为浓度（摩尔浓度）乘以体积得到摩尔数，所以我们可以计算给定体积中的摩尔数，并在标准化学计量计算中使用此值。
• 已知体积的溶液样品称为等分试样。当将溶液的等分试样稀释到更大的体积时，最终浓度可以计算为

$\left({\frac {\text{volume of the aliquot}}{\text{final volume}}}\right)=\left({\frac {\text{final concentration}}{\text{stock concentration}}}\right)$

，或者，$\left({\frac {V}{V_{f}}}\right)=\left({\frac {C_{f}}{C_{i}}}\right)$

其中C_i和C_f分别为母液和最终浓度，V为等分试样的体积，V_f 为溶液的最终体积。这种关系也常表示为V₁C₁ = V₂C₂，其中下标分别指初始和最终浓度和体积。