线性代数导论/向量和子空间

向量

简介

不区分行向量和列向量，我们可以定义 向量 如下

定义。 (向量) 令 $n$ 为正整数。一个 向量 是一个 $n$-元组 $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ 的实数。所有此类向量的集合 $\mathbb {R} ^{n}$ 是 欧几里得空间 的 维数 $n$.

备注。

• 我们将在后面定义 维数.
• 我们使用 粗体 字母表示向量。我们可以在书面形式中写成 ${\vec {v}},{\underline {v}},{\overset {\rightharpoonup }{v}}$。

• 特别地，我们使用 $\mathbf {0}$ 表示每个条目都是零的零向量。

• 条目 $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ 被称为 坐标 或 条目 的 $\mathbf {v}$.

一种特殊的向量类型是 标准向量.

定义。 （标准向量） 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，标准向量是 $\mathbf {e} _{j}$，其中第 $j$ 个元素为 $1$，其他所有元素为 $0$，其中 $j\in \{1,\ldots ,n\}$

备注。

• 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$\mathbf {e} _{1}$ 和 $\mathbf {e} _{2}$ 通常分别用 $\mathbf {i}$ 和 $\mathbf {j}$ 表示。
• 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，$\mathbf {e} _{1}$，$\mathbf {e} _{2}$ 和 $\mathbf {e} _{3}$ 通常分别用 $\mathbf {i}$，$\mathbf {j}$ 和 $\mathbf {k}$ 表示。

示例。

• 在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，$\mathbf {e} _{3}=(0,0,1,0)$.
• 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，$\mathbf {i} =(1,0,0)$.
• 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$\mathbf {i} =(1,0)$.

我们可以看到 $\mathbf {i}$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中与 $\mathbf {i}$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中是不同的。

然而，在线性代数中，我们有时需要区分行向量和列向量，它们定义如下

定义。 （行向量和列向量）行向量是一个 $1\times n$ 矩阵，列向量是一个 $n\times 1$ 矩阵。

备注。

• 使用列向量更为常见。
• 因此，我们可以将矩阵的加法和标量乘法定义应用于相应的向量运算。

示例。 （行向量和列向量）${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}$ 是一个行向量，${\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}$ 是一个列向量。

备注。

• 为了节省空间，我们可以使用 ${\begin{pmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}^{T}$ 来表示列向量。

• 为了节省更多空间，更常见的是用 $(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}$ 来表示这个转置。
• 另一方面，我们通常不用 $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ 来表示行向量，以避免与向量符号（不指定行向量或列向量）混淆。

两种基本的向量运算分别是加法和标量乘法。仅使用这两个运算，我们可以 组合多个向量，如以下定义所示。

定义。 （线性组合）令 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}$。向量 $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ 是 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 的 线性组合，如果 $$\mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}$$ 对于一些标量（或实数）$c_{1},\ldots ,c_{k}$ 成立。

例子。 向量 $(3,4,5)^{T}$ 是 $(1,2,3)^{T}$ 和 $(2,3,4)^{T}$ 的 线性组合，而向量 $(3,4,6)^{T}$ 不是。

证明。 由于 $$(3,4,5)^{T}=a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}\iff {\begin{cases}a+2b=3\\2a+3b=4\\3a+4b=5\\\end{cases}},$$ 我们可以对表示该 SLE 的增广矩阵进行如下变换： $${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\\\end{pmatrix}}{\overset {-3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\\\end{pmatrix}}{\overset {-\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&-2&-4\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.$$ 然后，我们可以直接读出唯一的解是 $(a,b)=(-1,2)$。 因此，我们可以将 $(3,4,5)^{T}$ 表示为 $(1,2,3)^{T}$ 和 $(2,3,4)^{T}$ 的线性组合。

另一方面，由于 $$(3,4,6)^{T}=a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}\iff {\begin{cases}a+2b=3\\2a+3b=4\\3a+4b=6\\\end{cases}},$$ 我们可以将表示这个线性方程组的增广矩阵如下变换： $${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&6\\\end{pmatrix}}{\overset {-3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-3\\\end{pmatrix}}{\overset {-\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&-2&-3\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.$$ 由于第 3 列有一个主元 1，因此线性方程组是不相容的，所以我们不能用 $(1,2,3)^{T}$ 和 $(2,3,4)^{T}$ 的线性组合来表示 $(3,4,6)^{T}$。

$\Box$

练习。

1 选择 $(1,2)^{T},(0,0)^{T}$ 的线性组合。

	$(1,2)^{T}$.
	$(0,0)^{T}$.
	$(0,1)^{T}$.
	$(1,2)$.
	$(0,0)$.

2 选择所有正确的陈述。

	如果一个非零向量 $\mathbf {v}$ 是向量 $\mathbf {v} _{1}$ 的线性组合，也是向量 $\mathbf {v} _{2}$ 的线性组合，那么 $\mathbf {v} _{1}$ 是 $\mathbf {v} _{2}$ 的线性组合。
	向量 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}$ 的线性组合和向量 $\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}$ 的线性组合都是向量 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}$ 的线性组合。
	零向量是任意向量(s) 的线性组合。
	任意向量(s) 有无限多种可能的线性组合。
	$\mathbf {v} =\pi ^{2}\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}$ 不是向量 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}$ 的线性组合。

另一个与线性组合密切相关的概念是 张成。

定义. (张成)

交叉阴影平面是 $\mathbf {u}$ 和 $\mathbf {v}$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 张成。

令 $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的非空子集。$S$ 的 张成，记为 $\operatorname {span} (S)$，是 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 所有 线性组合 的集合。

备注。

• 由此可知，$\operatorname {span} (S)$ 包含 无限多个 向量，因为这种向量的线性组合有无限多种。
• 因此，我们可以使用属于集合 $S$ 的向量来生成 $\operatorname {span} (S)$ 中的 每个 向量。
• 我们有一个包含一些向量(s)的 集合 的张成，而不是一个 向量 的张成。

示例。 集合 $\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}$ 的张成是 $$\{(a+2b,2a+3b,3a+4b)^{T}:a,b\in \mathbb {R} \}$$，因为 $(1,2,3)^{T}$ 和 $(2,3,4)^{T}$ 的线性组合的形式为 $$a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}=(a+2b,2a+3b,3a+4b)^{T}.$$ 几何上，张成是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 平面。

集合 $\{(1,1)^{T}\}$ 的张成是 $$\{(a,a)^{T}:a\in \mathbb {R} \}$$，因为 $(1,1,1)^{T}$ 的线性组合的形式为 $$a(1,1)^{T}=(a,a)^{T}.$$ 从几何上看，张成是 直线 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。

练习。

1 选择 $\operatorname {span} {(\{\mathbf {0} \})}$ 的所有正确表达式，其中 $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{n}$。

	$\mathbf {0}$.
	空集，$\varnothing$。
	$\{\mathbf {0} \}$.
	$\{\{\mathbf {0} \}\}$.
	$\mathbb {R} ^{n}$

2 选择 $\operatorname {span} {(\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \})}$ 的所有正确表达式，其中 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 是列向量。

	$\mathbb {R} ^{3}$.
	$\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$.
	$\{a\mathbf {i} ,b\mathbf {j} ,c\mathbf {k} :a,b,c\in \mathbb {R} \}$.
	$\{(a,b,c)^{T}:a,b,c\in \mathbb {R} \}$.

3 令 $S$ 和 $T$ 为包含某些向量的集合，它们是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的非空子集。选择所有正确的陈述。

	$\operatorname {span} {(S\cup T)}=\operatorname {span} (S)\cup \operatorname {span} (T)$
	如果 $\operatorname {span} (S)=\operatorname {span} (T)$，则 $S=T$。
	如果 $\operatorname {span} (S)\neq \operatorname {span} (T)$，则 $S\neq T$
	$\operatorname {span} {(\operatorname {span} (S))}=\operatorname {span} (S)$
	$\operatorname {span} {(\{\mathbf {u} ,\mathbf {v} \})}=\mathbb {R} ^{2}$ 对于每个 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{2}$

线性无关

定义。 (线性（不）相关)

线性 无关 向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中。

线性 相关 向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中。

令 $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}$ 为 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子集。 集合 $S$ 是 线性相关的，如果存在标量 $c_{1},\ldots ,c_{k}$，使得它们不全为零，并且满足 $$c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .$$ 否则，该集合是 线性无关。

备注。

• (术语) 我们也可以说 向量 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 线性无关，而不是说包含这些向量的集合是线性（无）关。
• 如果向量是线性相关的，那么在该方程中，某些 $c_{1},\ldots ,c_{k}$ 可能为零。
• 等价地，如果向量是线性无关的，那么我们有“如果 $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0}$，则唯一解是 $c_{1}=\cdots =c_{k}=0$”。

• 这是一种更常见的检查线性无关的方法。

接下来，我们将介绍一个关于线性相关性的直观结果，因为该结果与“线性相关性”这个名称相符。

命题。 (线性相关性的等价条件) 向量 $\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{k}$ 是线性相关的，当且仅当它们中一个可以表示为其他向量的线性组合。

证明。

• 必要性

• 不妨假设 $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}$ 中 $c_{1}\neq 0$ (我们可以用另一个标量代替 $c_{1}$，结果仍然根据对称性成立)。
• 然后，$\mathbf {v} _{1}=-{\frac {c_{2}}{c_{1}}}\mathbf {v} _{2}-\cdots -{\frac {c_{k}}{c_{1}}}\mathbf {v} _{k}$，即$\mathbf {v} _{1}$ 是其他向量的线性组合。

• 如果部分

• 不失一般性，假设$\mathbf {v} _{1}=b_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k}$（我们可以用类似的方式替换$\mathbf {v} _{1}$ 为另一个向量，结果仍然成立，因为是对称的）。
• 然后，$\mathbf {v} _{1}-b_{2}\mathbf {v} _{2}-\cdots -b_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0}$.

• 由于$\mathbf {v} _{1}$ 的系数非零（为 1），$\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 线性相关。

$\Box$

备注。

• 这不意味着每个向量都是其他向量的线性组合。
• 如果向量是“线性相关的”，我们可能直观地认为它们在某种线性意义上相关，这是正确的，因为其中一个向量是其他向量的线性组合，即它与所有其他向量都存在关系。

例如。 向量 $(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T},(3,4,5)^{T}$ 是线性相关的。

证明。

• 考虑方程$a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}+c(3,4,5)^{T}=(0,0,0)^{T}$.

• 由于系数矩阵的行列式

$${\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\\\end{vmatrix}}=1(3)(5)+2(4)(3)+3(2)(4)-3(3)(3)-2(2)(5)-4(4)(1)=0,$$

系数矩阵不可逆。

• 因此，齐次线性方程组根据简化可逆矩阵定理存在非平凡解，即存在不全为零的标量满足该方程。

$\Box$

接下来，我们将介绍一个关于线性无关向量的命题。

命题。 （线性无关向量系数比较）设 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ 是 线性无关 向量。如果 $$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k},$$ 则 $(a_{1},\ldots ,a_{k})=(b_{1},\ldots ,b_{k})$.

证明。 $$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k},\Leftrightarrow (a_{1}-b_{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(a_{k}-b_{k})\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0}$$ 由于向量的线性无关性，$$a_{1}-b_{1}=\cdots =a_{k}-b_{k}=0,$$ 结论得证。

$\Box$

示例。 （通过比较求解未知系数）假设 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}$ 是线性无关向量，并且 $$2\mathbf {v} _{1}+a\mathbf {v} _{2}+\mathbf {v} _{3}=b\mathbf {v} _{1}+7\mathbf {v} _{2}+c\mathbf {v} _{3}.$$ 那么，通过比较系数，我们得到 $$(a,b,c)=(7,2,1).$$

示例： 考虑三个线性 相关 向量 $(1,2,4)^{T},(2,4,8)^{T},(1,2,3)^{T}$。 即使 $$a_{1}(1,2,4)^{T}+a_{2}(2,4,8)^{T}+a_{3}(1,2,3)^{T}=b_{1}(1,2,4)^{T}+b_{2}(2,4,8)^{T}+b_{3}(1,2,3)^{T},$$ 我们 可能 没有 $(a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3})$。 例如，我们有 $$4(1,2,4)^{T}+(2,4,8)^{T}+(1,2,3)^{T}=2(1,2,4)^{T}+2(2,4,8)^{T}+(1,2,3)^{T}.$$

练习： 设 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ 是线性无关向量。

1 选择所有正确的陈述。

	$\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ 线性无关。
	$\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} ,\mathbf {0}$ 线性无关。
	$\mathbf {v} ,\mathbf {w} ,\mathbf {u} +\mathbf {v}$ 线性相关
	$a\mathbf {u} ,b\mathbf {v} ,c\mathbf {w}$ 对每个标量 $a,b,c$ 线性无关

2 选择所有正确的陈述。

	单个任意向量线性无关。
	如果 $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ 线性无关，并且 $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ 线性无关，那么 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ 线性无关。
	$a_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {e} _{k}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +b_{k}\mathbf {e} _{k}\Rightarrow (a_{1},\ldots ,a_{k})=(b_{1},\ldots ,b_{k})$
	$\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}$ 线性无关。

然后，我们将讨论两个将线性无关与 SLE 联系起来的结果。

命题。（线性无关与可逆性之间的关系）设 $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{\color {green}n}\}$ 是 $\mathbb {R} ^{\color {green}n}$ 中的一组向量（向量的数量必须是 $n$，以便以下矩阵为方阵）。设 $A$ 为 方阵，其 列 分别为 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$。那么，$S$ 线性无关 当且仅当 $A$ 可逆。

证明。 令 $\mathbf {x} =(c_{1},\ldots ,c_{n})^{T}$，$$c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \iff A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,$$ 一个齐次线性方程组。根据线性无关的定义，$S$ 线性无关等价于 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 只有 平凡 解，这也等价于 $A$ 可逆，根据简化可逆矩阵定理。

$\Box$

备注。 当向量数量与每个向量元素数量相同时，这提供了一种便捷的方法来检查线性（非）相关性。

例子。 集合 $\{(1,1,1)^{T},(2,3,4)^{T},(7,3,6)^{T}\}$ 线性 无关，因为 $${\begin{vmatrix}1&2&7\\1&3&3\\1&4&6\\\end{vmatrix}}=7\neq 0$$

命题。（线性无关与线性方程组解的数量之间的关系）令 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 是一个线性方程组（$A$ 可能不是方阵，$\mathbf {b}$ 可以不为零）。如果 $A$ 的 列 线性 无关，那么该线性方程组最多只有一个解。

证明。 令 $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$ 为 $A$ 的 列，并令 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$。

然后，$A\mathbf {x} =\mathbf {b} \iff x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b}$。假设存在两个不同的解$(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$ 和 $(y_{1},\ldots ,y_{n})^{T}$ 对于线性方程组，即 $$x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} =y_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +y_{n}\mathbf {a} _{n}.$$ 然而，根据线性无关向量系数比较的命题，$$(x_{1},\ldots ,x_{n})=(y_{1},\ldots ,y_{n}),$$ 这与我们假设这两个解是不同的矛盾。

$\Box$

备注。

• 一个特例是，如果 $A$ 的列线性无关，那么 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 只有平凡解，因此 $A$ 是可逆的，这与之前的命题相符。
• 线性方程组最多只有一个解，并且等价于该方程组要么没有解，要么只有一个唯一解。

示例。 集合 $\{(1,1,1)^{T},(2,3,4)^{T}\}$ 线性无关，因为它们中没有一个是其他向量的线性组合。因此，线性方程组 $${\begin{cases}x+2y&=a\\x+3y&=b\\x+4y&=c\\\end{cases}}$$ 对于每个 $a,b$ 最多只有一个解。例如，线性方程组 $${\begin{cases}x+2y&=4\\x+3y&=3\\x+4y&=2\\\end{cases}}$$ 无解，通过考虑该线性方程组的增广矩阵 $${\begin{pmatrix}1&2&4\\1&3&3\\1&4&2\\\end{pmatrix}}.$$ 由于 ${\begin{vmatrix}1&2&4\\1&3&3\\1&4&2\\\end{vmatrix}}=-4,$ 并且增广矩阵可逆，因此它的RREF为 $I_{3}$，根据简化可逆矩阵定理。然后，由于 $I_{3}$ 的第 3 列有一个主元，所以该线性方程组是不相容的。

练习。 令 $A={\begin{pmatrix}2&0&2&2\\2&5&8&9\\3&1&2&5\\1&2&3&4\\\end{pmatrix}},\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T},\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})^{T}$。已知 $\det A=-2$。

选择所有正确语句。

	集合 $\{(2,0,2,2)^{T},(2,5,8,9)^{T},(3,1,2,5)^{T},(1,2,3,4)^{T}\}$ 线性无关。
	集合 $\{(2,2,3,1)^{T},(0,5,1,2)^{T},(2,8,2,3)^{T},(2,9,5,4)^{T}\}$ 线性无关。
	齐次线性方程组 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 只有平凡解。
	线性方程组 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 可能有无穷多个解。

子空间

接下来，我们将讨论子空间。简单来说，它们是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一些具有良好性质的子集。更准确地说，我们有以下定义。

定义. (子空间) $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子集 $V$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个 子空间，当且仅当满足以下所有条件。

1. $\mathbf {0} \in V$
2. (对加法的封闭性) 对于每个 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$，$\mathbf {u} +\mathbf {v} \in V$
3. (对标量乘法的封闭性) 对于每个 $\mathbf {v} \in V$ 和标量 $c$，$c\mathbf {v} \in V$

备注。

• $V$ 代表向量空间，因为它是一种 向量空间，即一些较大向量空间的子集。

• 向量空间的定义涉及更多条件，也更复杂，因此这里没有列出。
• 对于子空间，在满足这些条件后，向量空间的其余条件将自动满足。

• 如果 $V$ 非空，则第一个条件是多余的。

• 但是，我们可能不知道 $V$ 是空集还是非空集，因此简单地检查第一个条件可能更方便。
• 这是因为对于每个 $\mathbf {v} \in V$，$-\mathbf {v} =(-1)\cdot \mathbf {v} \in V$，根据对标量乘法的封闭性，因此 $\mathbf {0} =\mathbf {v} +(-\mathbf {v} )\in V$，根据对加法的封闭性。

例： （零空间）仅包含零向量的集合，$\{\mathbf {0} \}$，是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的 子空间，称为 零空间。

证明。

• $\mathbf {0} \in \{\mathbf {0} \}$； Y
• $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} \in \{\mathbf {0} \}$； Y
• $c\mathbf {0} =\mathbf {0} \in \{\mathbf {0} \}$ 对于每个标量 $c$。 Y

$\Box$

例： 集合 $\{(1,2,3)^{T},(3,4,5)^{T}\}$ 的生成空间是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 子空间。

证明： 令 $V=\operatorname {span} {(\{(1,2,3)^{T},(3,4,5)^{T}\})}$。

• $\mathbf {0} \in V$ 因为 $\mathbf {0} =0\cdot (1,2,3)^{T}+0\cdot (3,4,5)^{T}$，是 $(1,2,3)^{T}$ 和 $(3,4,5)^{T}$ 的线性组合； Y
• $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V$，因为

• 设 $\mathbf {u} =a(1,2,3)^{T}+b(3,4,5)^{T}$ 以及 $\mathbf {v} =c(1,2,3)^{T}+d(3,4,5)^{T}$，则 $\mathbf {u} +\mathbf {v} =(a+c)(1,2,3)^{T}+(b+d)(3,4,5)^{T}\in V$。 Y

• $\mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V$，因为

• 设 $\mathbf {v} =a(1,2,3)^{T}+b(3,4,5)^{T}$，则 $c\mathbf {v} =ca(1,2,3)^{T}+cb(3,4,5)^{T}\in V$。 Y

$\Box$

从这个例子中我们可以看出，向量本身的具体数值并不重要。实际上，我们有以下一般性结论：

命题. （有限集的线性空间是子空间）对于任意有限集 $S$，$\operatorname {span} (S)$ 是一个 子空间。

证明. 证明思想如上述例子所示。

• $\mathbf {0} \in V$，因为零向量是属于 $S$ 的向量的线性组合； Y
• $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V$，因为$\mathbf {u} +\mathbf {v}$ 是属于$S$ 的向量的线性组合；Y
• $\mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V$，因为$c\mathbf {v}$ 是属于$S$ 的向量的线性组合。 Y

$\Box$

练习。

选择所有正确语句。

	空集，$\varnothing$，是一个子空间。
	$L=\{(1,0,0)^{T}+t(2,3,4)^{T}:t\in \mathbb {R} \}$ 是一个子空间。
	$\{(1,2,3)^{T}\}$ 是一个子空间。
	$\mathbb {R} ^{3}$ 是一个子空间。
	$S=\{(x,y):x\geq 0,y\leq 0\}$ 是一个子空间。

特别是，我们对某些跨度有特殊的名称，如下所示

定义。 （行空间、列空间和零空间）设 $A$ 是一个矩阵。 $A$ 的 行（列）空间 是 $A$ 的行（列）向量的 线性组合，记为 $\operatorname {Row} (A)$ ($\operatorname {Col} (A)$)。 $A$ 的 零空间 （或核）是齐次线性方程组 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 的解集，记为 $\operatorname {Null} (A)$ （或 $\operatorname {ker} (A)$，称为“核”）。

备注。

• 根据有限集的线性组合形成子空间的命题，可知行空间和列空间都是子空间。
• 行空间和列空间可能属于不同的欧几里得空间，

• 例如，对于 $m\times n$ 矩阵 $A$， $\operatorname {Row} (A)\in \mathbb {R} ^{m}$，而 $\operatorname {Col} (A)\in \mathbb {R} ^{n}$。

例子。 零空间是一个子空间。

证明。 考虑齐次线性方程组 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$。 设 $V$ 是 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 的解集，即 $V=\operatorname {Null} (A)$。

• $\mathbf {0} \in V$，因为 $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$；Y
• $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V$，因为

• 由于 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$，$A\mathbf {u} =\mathbf {0} ,A\mathbf {v} =\mathbf {0}$；
• 由于 $A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=A\mathbf {u} +A\mathbf {v} =\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$，$\mathbf {u} +\mathbf {v} \in V$。 Y

• $\mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V$，因为

• 由于 $\mathbf {v} \in V$，$A\mathbf {v} =\mathbf {0}$；
• 由于 $A(c\mathbf {v} )=c(A\mathbf {v} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$，$c\mathbf {v} \in V$。 Y

$\Box$

示例。 （行空间、列空间和零空间的示例）考虑矩阵 $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}}$。

• $\operatorname {Row} (A)=\operatorname {span} {(\{{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}\})}$;
• $\operatorname {Col} (A)=\operatorname {span} {(\{(1,3)^{T},(2,4)^{T},(3,5)^{T}\})}$;
• $\operatorname {Null} (A)=\{(x,y,z)^{T}=(z,-2z,z)^{T}:z\in \mathbb {R} \}$（一种可能的表达式）

• 因为${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\end{pmatrix}}$的解集是$\{(x,y,z)^{T}=(z,-2z,z)^{T}:z\in \mathbb {R} \}$。

示例： 集合$\{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}$ 是$\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。

证明： $x+y+z=0\iff {\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}=0$，因此该集合是$1\times 3$ 矩阵${\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$ 的零空间，而零空间是一个子空间。

$\Box$

从几何角度来看，该集合是通过$\mathbb {R} ^{3}$ 原点的平面。

练习： 令$A={\begin{pmatrix}1&3&2\\3&2&1\\2&1&3\\\end{pmatrix}}$。

选择所有正确语句。

	$\operatorname {Row} (A)$ 是一个子空间。
	$\operatorname {Col} (A)$ 是一个子空间。
	$\operatorname {Row} (A)=\operatorname {Col} (A).$
	$\operatorname {Null} {((A|\mathbf {0} ))}$ 是一个子空间，其中$(A|\mathbf {0} )$ 是一个增广矩阵。
	$\operatorname {Row} (A^{T})=\operatorname {Row} (A)$

接下来，我们将介绍一些与子空间相关的术语。

定义。 (生成集) 令 $V$ 为一个子空间，令 $S$ 为 $V$ 的一个子集。集合 $S$ 是 $V$ 的一个 生成集 (或线性生成集) 如果 $$\operatorname {span} (S)=V.$$ 我们也可以说 $S$ 生成 (或线性生成) $V$。

定义。 (基) 令 $V$ 为一个子空间。基 (复数: 基) 是指 $V$ 的一个 线性无关生成集。

备注。

• 基非常重要，因为它告诉我们 $V$ 的整个结构，并且使用最少的向量数量（一个 $V$ 的生成集可以告诉我们 $V$ 的整个结构）。
• 线性无关性确保生成集中没有“冗余”向量（“冗余”向量是指可以用其他向量线性组合表示的向量）。

• 给定一个线性相关的生成集，我们可以移除一些向量使其线性无关（这被称为 约化定理，我们将在后面讨论）。

• 我们通常用 $\beta$ 来表示基，因为“beta”和“basis”的第一个音节相似。

下面的定理强调了 基 的重要性。

定理。 令 $V$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子空间，令 $\beta$ 是 $V$ 的一个子集。那么，$\beta$ 是 $V$ 的基当且仅当 $V$ 中的每个向量都可以表示为 $\beta$ 中向量的 线性组合，并且这种表示方式是 唯一 的。

证明。

• 必要性

• $\beta$ 是一个生成集，因此 $V$ 中的每个向量都属于 $\operatorname {span} {\beta }$，即 $V$ 中的每个向量都是 $\beta$ 中向量的线性组合。
• 唯一性 来自于关于比较线性无关向量的系数的命题。

• 如果部分

• $\beta$ 生成 $V$ 因为

1. 根据子空间的定义，$\operatorname {span} {\beta }\subseteq V$（因为$\beta$（$\beta$ 中的向量）的线性组合也在 $V$ 中，根据$\beta \subseteq V$）。
2. 另一方面，由于 $V$ 中的每个向量都可以表示为 $\beta$ 中向量的线性组合，我们有$V\subseteq \operatorname {span} {\beta }$。
3. 因此，我们有$\operatorname {span} {\beta }=V$，所以根据定义，$\beta$ 生成了 $V$。Y

• $\beta$ 是线性无关的，因为

• 设 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ 是 $\beta$ 中的向量，并且
• 假设$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$，其中$a_{1},\ldots ,a_{n}$ 不全为零（即$\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ 线性相关），那么我们可以用两种不同的方式在 $V$ 中表示零向量

$$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n},{\text{ and }}0\mathbf {v} _{1}+\cdots +0\mathbf {v} _{n},$$

这与表示的唯一性相矛盾。 Y

$\Box$

示例。 （标准基）对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个 基 是 $\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}$，被称为 标准基。

证明。 令 $S=\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}$。

• $S$ 生成 $\mathbb {R} ^{n}$，因为

$$\mathbb {R} ^{n}=\{(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}:v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} \}=\{v_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}:v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} \}=\operatorname {span} (S).$$Y

• $S$ 是线性无关的，因为

$$v_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} \implies (v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}=(0,\ldots ,0)^{T}\implies v_{1}=\cdots =v_{n}=0.$$ Y

$\Box$

示例。 集合 $S=\{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}$ 的一个 基 是 $\{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}$。

证明： $x+y+z=0$ 的通解是 $$(x,y,z)^{T}=(-s-t,s,t)^{T}=s(-1,1,0)^{T}+t(-1,0,1)^{T}$$，将 $y=s,z=t$ 设置为独立未知数。由于通解是 $(-1,1,0)^{T}$ 和 $(-1,0,1)^{T}$ 的线性组合，$\beta =\{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}$ 生成了 $S$。Y 此外，$\beta$ 是线性无关的，因为 $$a(-1,1,0)^{T}+b(-1,0,1)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies (-a-b,a,b)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies a=b=0.$$ Y

$\Box$

存在无穷多个其他基，因为我们可以将此基中的向量乘以任意非零标量。

练习。

选择所有正确语句。

	$\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ 生成了 $\mathbb {R} ^{2}$。
	$\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} \}$ 生成了 $\{\mathbf {i} +\mathbf {j} \}$
	子空间的生成集是唯一的。
	子空间的基是唯一的。
	列空间的基是一个包含一些列向量的集合。
	设 $S$ 是子空间 $V$ 的生成集。那么，$V$ 也生成 $S$.

接下来，我们将讨论一些构造基的方法。

定理。 （扩张与约化定理） 设 $V$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子空间。那么，以下结论成立。

• （扩张定理） $V$ 的每一个 线性无关 子集可以扩张为 $V$ 的一个 基；
• （约化定理） $V$ 的每一个有限 生成集 包含 $V$ 的一个 基。

注。 按惯例，零空间 $\{\mathbf {0} \}$ 的基是空集 $\varnothing$.

它的证明比较复杂。

推论。 （$\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间的基的存在） $\mathbb {R} ^{n}$ 的每个子空间都有一个基。

证明。 我们从空集 $\varnothing$ 开始。它是线性无关的（因为它按定义 不是 线性相关的），并且是任何集合的子集。根据扩张定理，它可以扩张为 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间的基。因此，$\mathbb {R} ^{n}$ 的每个子空间都有一个基，可以通过这种方法找到。

$\Box$

例：（使用降阶定理求基底） 子空间 $V=\{(x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^{T}:x,y,z\in \mathbb {R} \}$ 的一个 基底 是 $\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}$.

证明。 观察到 $V$ 的一个生成集是 $S_{1}=\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T},(5,8,11)^{T}\}$，因为 $$(x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^{T}=x(1,2,3)^{T}+y(2,3,4)^{T}+z(5,8,11)^{T}.$$ 根据降阶定理，$S_{1}$ 必须包含一个基。观察到 $(5,8,11)^{T}=(1,2,3)^{T}+2(2,3,4)^{T}$（如果没有观察到，我们可以使用线性（非）依赖性的定义中的方程来找到这一点）。因此，$V=\operatorname {span} {S_{1}}$ 中的向量也可以由 $S_{2}=\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}$ 生成。因此，$S_{2}$ 是一个更小的生成集。由于 $$c_{1}(1,2,3)^{T}+c_{2}(2,3,4)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies (c_{1}+2c_{2},2c_{1}+3c_{2},3c_{1}+4c_{2})=(0,0,0)^{T},$$ 并且表示此 SLE 的增广矩阵的 RREF 是 $${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$$ 此 SLE 的唯一解是 $c_{1}=c_{2}=0$，即 $S_{2}$ 线性无关。由此得出，$S_{2}$ 是一个基。

$\Box$

练习。

已知 $S=\{(2,0,0)^{T},(0,3,0)^{T}\}$ 是子空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一个线性无关子集。在 $S$ 中添加一个向量 $\mathbf {v}$ 后，$S$ 成为 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一个基。以下哪个是 $\mathbf {v}$ 的可能选择？

	$(0,0,1)^{T}$
	$(0,0,2)^{T}$
	$(1,0,0)^{T}$
	$(1,2,0)^{T}$

与 基 相关的术语是 维数。

定义。 (维数) 令 $\beta$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间 $V$ 的一个基。$\beta$ 中向量的数量，记为 $\operatorname {dim} (V)$，是 $V$ 的 维数。

备注。

• 按照惯例，零空间 $\{\mathbf {0} \}$ 的 维数 是 $0$。

• 也就是说，我们说空集$\varnothing$ 中向量的数量为 $0$。

• 当子空间具有更高维度时，由于更多参数可变，因此有更多“灵活性”。

回顾一下，子空间有无数个基。幸运的是，所有基都具有相同数量的向量，因此子空间的维度是唯一的，正如人们直觉上所期望的那样。以下定理保证了这一点。

定理。 （维数唯一性）任意子空间的维度唯一，即，如果我们令 $\beta _{1}$ 和 $\beta _{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间 $V$ 的两个有限基，那么，$\beta _{1}$ 中向量的数量等于 $\beta _{2}$ 中向量的数量。

证明。 令 $\beta _{1}=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}$ 和 $\beta _{2}=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{\ell }\}$。此外，令 $U_{n\times k}$ 和 $W_{n\times \ell }$ 为具有 $\mathbf {u} _{i}$ 和 $\mathbf {w} _{j}$ 作为列的矩阵。

根据基的定义，$\operatorname {span} {\beta _{1}}=V$，并且$\operatorname {span} {\beta _{2}}=V$，所以$$\mathbf {w} _{1}+0\mathbf {w} _{2}+\cdots +0\mathbf {w} _{k}=a_{11}\mathbf {u} _{1}+a_{21}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{k1}\mathbf {u} _{k}\implies \mathbf {w} _{1}=U\mathbf {a} _{1}$$，其中$\mathbf {a} _{1}=(a_{11},\ldots ,a_{k1})^{T}$。根据对称性，$\mathbf {w} _{2}=U\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {w} _{\ell }=U\mathbf {a} _{\ell }$。因此，$W=UA$，其中$A$ 是一个大小为 $k\times \ell$ 的矩阵，其列向量是 $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{\ell }$。

我们断言$A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 只有平凡解，这是成立的，因为

• 如果$A\mathbf {x} =\mathbf {0}$，那么 $W\mathbf {x} =UA\mathbf {x} =U\mathbf {0} =\mathbf {0}$，因此 $\mathbf {x} =0$，因为 $W$ 的列向量是线性无关的，根据关于线性无关性和 SLE 解的个数之间关系的命题。

因此，$(A|\mathbf {0} )$ （具有 $\ell +1$ 列）在其前 $\ell$ 列中都有一个主元。由于 $(A|\mathbf {0} )$ 有 $k$ 行，我们有 $k\geq \ell$ （如果 $k<\ell$，我们不可能有 $\ell$ 个主元，因为最多有 $k<\ell$ 个主元）。

通过对称性（交换 $\beta _{1}$ 和 $\beta _{2}$ 的角色）， $k\leq \ell$，因此 $k=\ell$

$\Box$

示例： （欧几里得空间的维数）$\mathbb {R} ^{n}$ 的 维数 是 $n$，因为 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个基是 标准基 $\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}$，它包含 $n$ 个向量。

示例。（平面维度）子空间 $\{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}$ 的 维度 是 $2$，因为该子空间的一组基为 $\{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}$（来自前面的示例），它包含 $2$ 个向量。从几何上讲，该子空间是一个平面。一般来说，每个平面的维度都是 $2$。

练习。

选择所有正确语句。

	子空间 $V$ 的每个有限生成集中的向量数量大于或等于 $V$ 的维度。
	矩阵的行空间的维度是它的行数。
	矩阵的列空间的维度是它的列数。

接下来，我们将讨论行空间、列空间和零空间的基，以及它们的维度。

命题。（行空间的基）设 $A$ 为一个矩阵，$R$ 为 $A$ 的行阶梯形。则 $\operatorname {Row} (A)$ 的一组基是 $R$ 的所有 非零 行组成的集合。

证明。 可以证明，当执行初等行变换时，行空间保持不变。例如，

• （类型 I 初等行变换）$\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\})}$；
• (II 型初等行变换) $\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{k\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}$;
• (III 型初等行变换) $\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1}+k\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}$.

假设以上结论成立，则有 $\operatorname {Row} (A)=\operatorname {Row} (R)$. 可以证明 $R$ 中的非零行可以生成 $\operatorname {Row} (R)$，并且它们线性无关，因此非零行构成了 $\operatorname {Row} (R)=\operatorname {Row} (A)$ 的一个基底。

$\Box$

注： $\operatorname {Row} (A)$ 的另一个基底是 $A$ 中与 $R$ 中的 非零 行相对应的所有行，即最初位于 $R$ 中 非零 行位置的行集，因为它也能生成行空间，而且也是线性无关的。

例： 令 $A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}$。可以证明它的RREF是${\begin{pmatrix}1&0&-11\\0&1&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$，因此$\operatorname {Row} (A)$ 的一个基底是 $\beta =\{{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}}\}$（可以证明$\beta$ 线性无关），因此它的维数是 $2$。

另一个基底是$\{{\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&5&3\end{pmatrix}}\}$，对应于RREF中非零行的行。

命题：（列空间的基底）令$A$ 为一个列向量为 $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$ 的矩阵，令 $R$ 为 $A$ 的RREF。假设$i_{1},\ldots ,i_{k}$ 是$R$ 中唯一包含主元的列（它们是包含主元的列的索引）。然后，$\operatorname {Col} (A)$ 的一个基底是 $\{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{k}}\}$。

证明。 使用高斯-约旦消元法，$(A|\mathbf {0} )$ 可以通过初等行变换转换为 $(R|\mathbf {0} )$ ， 它们是行等价的。因此，$A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 和 $R\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 具有相同的解集。然后，可以证明 $A$ 中线性（不）相关的列对应于 $R$ 中线性（不）相关的列。因此，$\{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{k}}\}$ 线性无关， 所有其他列都属于该集合的线性组合。

$\Box$

示例。 令 $A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}$。从前面的例子， $A$ 的行简化阶梯形矩阵是 ${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&-11\\0&{\color {green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$。因此， $A$ 的列对应于 $R$ 中包含主元的列， 即第 1 列和第 2 列， 构成基底。因此，$\operatorname {Col} (A)$ 的基底为 $\{(1,2,6)^{T},(4,5,15)^{T}\}$。

如果我们令 $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}$ 为 $A$ 的第 1、2、3 列，那么 $\mathbf {a} _{3}=-11\mathbf {a} _{1}+5\mathbf {a} _{2}$。如果我们令这些符号表示 $R$ 中的对应列，同样的等式也成立。

例子.（零空间的基）令 $A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}$。从前面的例子中，$A$ 的 RREF 为 ${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&-11\\0&{\color {green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$。$\operatorname {Null} (A)$ 的基为 $\{(11,-5,1)^{T}\}$，因为 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 的解集为 $\{\mathbf {x} =(11t,-5t,t):t\in \mathbb {R} \}$，并且它的维数是 $1$。

练习。

令 $A$ 为一个矩阵，$R$ 为其 RREF。选择所有正确陈述。

	的基础是 $\operatorname {Col} (A)$ 中所有包含主元的列向量组成的集合。
	的每个基，以及 $\operatorname {Row} (I_{3})$ 的每个基，都包含相同数量的向量。
	的维度是 $R$ 中主元的数量。
	的基的维度小于或等于 $A$ 的行数。
	的基的维度小于或等于 $A$ 的列数。

命题. (零空间的维度) 令 $A$ 为矩阵。的维度是 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 解集中的 独立未知数 的 数量。

证明. 证明的思路在上面的例子中已经说明：如果解集中有 $k$ 个独立的未知数，我们需要一个至少包含 $k$ 个向量的集合来生成解集。

$\Box$

我们对行空间、列空间和零空间的维度有特殊的名称，如下所示

定义. (行秩、列秩和零度) 设 $A$ 是一个矩阵。 $\operatorname {Row} (A),\operatorname {Col} (A)$ 和 $\operatorname {Null} (A)$ 的维度分别称为 $A$ 的 行秩、 列秩 和 零度。 它们分别记作 $\operatorname {row\;rank} (A),\operatorname {column\;rank} (A)$ 和 $\operatorname {nullity} (A)$。

实际上，每个矩阵的行秩和列秩是相同的。

命题. (行秩和列秩都等于 RREF 中的领先一的个数) 对于每个矩阵 $A$，$\operatorname {row\;rank} (A)=\operatorname {column\;rank} (A)$ 等于 $A$ 的 RREF 中领先一的个数。

证明. 我们可以从关于行空间基的命题 (非零行的数量等于 $A$ 的 RREF 中领先一的个数) 和关于列空间基的命题 (有 $k$ 个列向量，且 $k$ 是根据假设的领先一的个数) 中看出这一点。

$\Box$

由于这个命题，我们有以下定义。

定义. (秩) 设 $A$ 是一个矩阵。 $A$ 的 秩，记作 $\operatorname {rank} (A)$，是 $A$ 的 行秩 和 列秩 的公共值。

备注. 我们通常使用这种术语和符号，而不是行秩和列秩的那些。

然后，我们将介绍一个重要的定理，它将 秩 和 零度 联系起来。

定理. （秩-零度定理）令 $A$ 为一个 $m\times {\color {green}n}$ 矩阵。则， $$\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)={\color {green}n}$$

证明. 令 $R$ 为 $A$ 的行最简形式。 $\operatorname {rank} (A)$ 是 主元 的个数，$\operatorname {nullity} (A)$ 是 $R\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 中的 独立 未知数的个数，即 ${\color {green}n}$ 减去 主元 的个数。结论得证。

$\Box$

例子. 令 $A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}$。从前面的例子，

• $\operatorname {Row} (A)$ 的一个基为 $\{{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}}\}$；
• $\operatorname {Col} (A)$ 的一个基为 $\{(1,2,6)^{T},(4,5,15)^{T}\}$；
• $\operatorname {Null} (A)$ 的一个基为 $\{(11,-5,1)^{T}\}$.

因此，$\operatorname {rank} (A)=2$ 并且 $\operatorname {nullity} (A)=1$。由于 $A$ 的列数为 $3$，这验证了秩零度定理。

练习。

选择所有正确语句。

	$\operatorname {rank} (O)=0$
	$\operatorname {rank} (I)=1$
	$\operatorname {nullity} (O)=0$
	$\operatorname {nullity} (I)=1$
	$A$ 可逆当且仅当 $\operatorname {rank} (A)$ 等于 $A$ 的列数。