控制中的 LMI/应用/Hinf 最优模型降阶

给定一个全阶模型和一个降阶模型的初始估计，可以获得在 $H_{\infty }$ 意义上最优的降阶模型。此方法使用 LMI 技术迭代地获得结果。

系统

给定系统的状态空间表示 $G(s)$ 和降阶模型的初始估计 ${\hat {G}}(s)$ .

{\begin{aligned}\ G(s)&=C(sI-A)B+D,\\\ {\hat {G}}(s)&={\hat {C}}(sI-{\hat {A}}){\hat {B}}+{\hat {D}},\\\end{aligned}}

其中 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{p\times n},D\in \mathbb {R} ^{p\times m},{\hat {A}}\in \mathbb {R} ^{k\times k},{\hat {B}}\in \mathbb {R} ^{k\times m},{\hat {C}}\in \mathbb {R} ^{p\times k}$ 和 ${\hat {D}}\in \mathbb {R} ^{p\times m}$ 。其中 $n,k,m,p$ 分别代表全阶、降阶、输入数量和输出数量。

数据

全阶状态矩阵 $A,B,C,D$ 和降阶模型阶数 $k$ .

优化问题

优化的目标是降低两个系统的 $H_{\infty }$ 范数距离。最小化 $\|G-{\hat {G}}\|_{\infty }$ 相对于 ${\hat {G}}$ .

LMI：莱雅普诺夫不等式

目标： $\min \gamma$ .

条件： ${\begin{aligned}\ P&={\begin{bmatrix}\ P11&P12\\\ P21&P22\\\end{bmatrix}}\ >0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\ A^{T}P11+P11A&A^{T}P12+P12{\hat {A}}&P11B-P12{\hat {B}}&C^{T}\\\ {\hat {A}}^{T}P12^{T}+P12^{T}A&{\hat {A}}^{T}P22+P22{\hat {A}}&P12^{T}B-P22{\hat {B}}&{\hat {C}}^{T}\\\ B^{T}P11-{\hat {B}}^{T}P12^{T}&B^{T}P12-{\hat {B}}^{T}P22&-\gamma {I}&D^{T}-{\hat {D}}^{T}\\\ C&{\hat {C}}&D-{\hat {D}}&-\gamma {I}\\\end{bmatrix}}\ >0\end{aligned}}$

从上面的 LMI 可以看出，第二个矩阵不等式对于 ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}},P$ 不是线性的。通过使 ${\hat {A}},{\hat {B}}$ 保持不变，它对于 ${\hat {C}},{\hat {D}},P$ 是线性的。如果 $P12,P22$ 保持不变，它对于 ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}},P11$ 是线性的。因此可以使用以下迭代算法。