控制/稳定性分析/连续时间/Hurwitz 可稳定性中的 LMI

本节研究控制系统的可稳定性性质。

系统

给定线性系统的状态空间表示

${\begin{aligned}\ \rho x=Ax+Bu\\\ y=Cx+Du\\\end{aligned}}$

其中 $\rho$ 表示微分算子（当系统为连续时间时）或一步前移算子（离散时间系统）。$x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{m},u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态、输出和输入向量。

数据

$A,B,C,D$ 是系统矩阵。

定义

系统，或矩阵对 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可稳定性的，如果存在一个实数矩阵 $K$ 使得 $(A+BK)$ 是 Hurwitz 稳定的。给定矩阵对 (A,B) 的 Hurwitz 可稳定性条件由 PBH 准则给出

${\begin{aligned}\ rank{\begin{bmatrix}sI-A&B\end{bmatrix}}&=n,\forall s\in \mathbb {C} ,Re(s)\geq 0\\\end{aligned}}$

(1)

PBH 准则表明，如果所有不可控模态都是 Hurwitz 稳定的，则系统是 Hurwitz 可稳定性的。

LMI 条件

系统，或矩阵对 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可稳定性的，当且仅当存在对称正定矩阵 $P$ 和 $W$ 使得

${\begin{aligned}AP+PA^{T}+BW+W^{T}B^{T}<0\\\end{aligned}}$

(2)

在 Hurwitz 可稳定性和 Lyapunov 稳定性理论的定义之后，PBH 准则当且仅当存在矩阵 $K$ 和矩阵 $P>0$ 满足以下条件时为真。

${\begin{aligned}(A+BK)P+P(A+BK)^{T}<0\\\end{aligned}}$

(3)

令

${\begin{aligned}W=KP\\\end{aligned}}$

(4)

将 (4) 代入 (3) 得到 (2)。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Mosek。

• https://github.com/ShenoyVaradaraya/LMI--master/blob/main/Hurwitz_Stabilizability.m

结论

与二阶条件相比，LMI 在保持数值可靠性的同时，具有计算优势。

参考文献

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - 由 Matthew Peet 编写的关于 LMI 在控制中的课程。
• LMIs in Systems and Control Theory - 由 Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。
• LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications - 由段广仁和于海华编写，CRC 出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013 年