考虑具有状态空间实现的单输入多输出离散时间LTI系统 x k + 1 = A d x k + B d u k {\displaystyle {\mathbf {x}}_{k+1}={\mathbf {A}}_{d}{\mathbf {x}}_{k}+{\mathbf {B}}_{d}u_{k}} , y k = C d x k {\displaystyle {\mathbf {y}}_{k}={\mathbf {C}}_{d}{\mathbf {x}}_{k}}
A d ∈ R n × n {\displaystyle {\mathbf {A}}_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times n}} , B d ∈ R n × 1 {\displaystyle {\mathbf {B}}_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}} , 和 C d ∈ R p × n {\displaystyle {\mathbf {C}}_{d}\in \mathbb {R} ^{p\times n}} , 并且假设 A d {\displaystyle {\mathbf {A}}_{d}} 是可逆的。令 z k = C d A d k − 1 B d {\displaystyle {\mathbf {z}}_{k}={\mathbf {C}}_{d}A_{d}^{k-1}B_{d}} . 是系统的单位脉冲响应。脉冲响应的欧几里得范数满足以下LMI。
| | z k ‖ | 2 ≤ γ , ∀ k ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \left\vert \left\vert z_{k}\right\Vert \right\vert _{2}\leq \gamma ,\forall k\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}
如果存在 P ∈ S n {\displaystyle {\mathbf {P}}\in \mathbb {S} ^{n}} 和 γ ∈ R > 0 {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{>0}} ，其中 P > 0 {\displaystyle {\mathbf {P}}>0} ，使得
[ P C d T ∗ γ 1 ] ≥ 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\mathbf {P}}&{\mathbf {C}}_{d}^{T}\\*&\gamma {\mathbf {1}}\end{bmatrix}}\geq 0.}
[ P P A d − 1 B d ∗ γ ] ≥ 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\mathbf {P}}&{\mathbf {P}}A_{d}^{-1}B_{d}\\*&\gamma \end{bmatrix}}\geq 0.}
和 A d T P A d − P ≤ 0. {\displaystyle A_{d}^{T}PA_{d}-P\leq 0.}
这可以在任何 LMI 解析器（如 YALMIP）中实现，该解析器可以实现 Mosek 等求解器来返回解决方案。
使用此 LMI 可以分析给定自治 LTI 系统的瞬态状态边界。
Caverly, Ryan; Forbes, James (2021). 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用.
,
, 
, 和 
, 并且假设 
是可逆的。令 
. 是系统的单位脉冲响应。脉冲响应的欧几里得范数满足以下LMI。
和 
，其中 
，使得
