控制/稳定性分析/Hurwitz 稳定性中的 LMI

这是一组用于确定连续时间系统 Hurwitz 稳定性的 LMI 条件。

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}

数据

矩阵 $A,B,C,D$ 是适当维度的系统矩阵。
$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态向量、输出向量和输入向量。

优化问题

找到一个对称正定矩阵 $X$ ，其中 $X\in \mathbb {R} ^{n}$ 。因此 $X>0$ 和 $K=ZX^{-1}$ ，其中 $Z\in \mathbb {R} ^{r}$ 。

LMI：Lyapunov 不等式

矩阵对 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可镇定的，当且仅当存在对称正定矩阵 $X$ 和矩阵 $Z$ 满足：
$AX+XA^{T}+BZ+Z^{T}B^{T}<0$

证明 : 矩阵对 $(A,B)$ 是 Hurwitz 可镇定的，当且仅当：

$rank[sI-AB]=n$ ， $\forall s\in \lambda (A)$ 且 $Re(s)\geq 0$
这是 Hurwitz 稳定性的定义。现在，使用这个定义，如果我们找到矩阵 $X>0$ 和矩阵 $Z$ ，然后在上面的 LMI 中代入 $Z=KX$ ，我们得到：
$(A+BK)X+X(A+BK)^{T}<0$ ，这使我们回到了李雅普诺夫稳定性理论。