控制中的 LMI / 工具 / 基本矩阵理论

基本矩阵符号

考虑复矩阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{n\times m}$

矩阵的转置

的转置 $A$，记为 $A^{T}$ 或 $A'$ 是

$A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.$

矩阵的伴随

的伴随或厄米特共轭 $A$，记为 $A^{*}$ 是

$A^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}^{*}&\dots &a_{n1}^{*}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}^{*}&\dots &a_{nm}^{*}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.$

其中 $a_{nm}^{*}$ 是矩阵元素 $a_{nm}$ 的复共轭。

请注意，对于一个实矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$A^{*}=A^{T}$。

矩阵的重要性质

Hermitian、自伴随和对称矩阵

一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被称为 Hermitian 或自伴随矩阵，如果 $A=A^{*}$。

如果 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是 Hermitian 矩阵，那么它被称为对称矩阵。

酉矩阵

一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被称为酉矩阵，如果 $A^{*}=A^{-1}$ 或 $A^{*}A=I$。

待完善，将添加更多参考资料

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMIs 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMIs - Stephen Boyd 关于 LMIs 的可下载书籍。