控制中的LMI/工具/矩阵范数最小化

系统

{\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\end{aligned}}

注意， ${\begin{aligned}A_{i},\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$ 是对称矩阵。

{\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\quad {\text{are given matrices.}}\end{aligned}}

找到

${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$

以最小化

${\begin{aligned}J(x)=||A(x)||_{2}\end{aligned}}$

根据[1]第11页引理1.2，以下陈述是等价的

${\begin{aligned}A^{T}A-t^{2}I\leq 0\iff {\begin{bmatrix}-tI&A\\A^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}$

LMI公式的数学描述

{\begin{aligned}{\text{min}}\;\quad t:&\\{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-tI&A(x)\\A(x)^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}

这个问题是对矩阵特征值最小化问题的轻微推广。

${\begin{aligned}x_{i},\quad i=1,2,...,n\quad {\text{and}}\quad t>0\end{aligned}}$ 是需要优化的参数。

Github 仓库中此问题的 Matlab 代码链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。