控制中的 LMI/工具/矩阵正定性的概念

正在进行中，将添加描述

正定性的符号

对称矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定义为

半正定， $(A\geq 0)$，如果 $x^{T}Ax\geq 0$ 对所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

正定， $(A>0)$，如果 $x^{T}Ax>0$ 对所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

半负定， $(-A\geq 0)$。

负定， $(-A>0)$。

不定如果 $A$ 既不是半正定也不是半负定。

正定矩阵的性质

• 对于任何矩阵 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩阵是可逆的，并且逆矩阵也是正定的。
• 正定矩阵 $A>0$ 有一个平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 对于一个正定矩阵 $A>0$ 和可逆矩阵 $M$，$M^{T}AM>0$。
• 如果 $A>0$ 并且 $M>0$，那么 $A+M>0$。
• 如果 $A>0$ 那么 $\mu A>0$ 对于任何标量 $\mu >0$。

待完善，将添加更多参考资料

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet 关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的LMI列表。
• 系统和控制理论中的LMI - Stephen Boyd 编写的关于LMI的可下载书籍。