控制中的 LMI / 工具 / Schur 补

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Schur 补是证明许多 LMI 定理的重要工具。它经常被用作 LMI 线性化的一个方法。

Schur 补

考虑矩阵 $Q$，$M$ 和 $R$，其中 $Q$ 和 $M$ 是自伴的。那么以下陈述是等价的

1. $Q>0$ 和 $M-RQ^{-1}R^{*}>0$ 都成立。
2. $M>0$ 和 $Q-R^{*}M^{-1}R>0$ 都成立。
3. ${\begin{bmatrix}M&R\\R^{*}&Q\end{bmatrix}}>0$ 满足。

更简洁地

${\begin{bmatrix}M&R\\R^{*}&Q\end{bmatrix}}>0\iff {\begin{bmatrix}M&0\\0&Q-R^{*}M^{-1}R\end{bmatrix}}>0\iff {\begin{bmatrix}M-RQ^{-1}R^{*}&0\\0&Q\end{bmatrix}}>0$

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外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 特性及其应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。