控制中的LMI/页面/Apkarian滤波器

控制中的LMI/页面/Apkarian滤波器

系统

如果多胞形模型中的所有子系统具有相同的矩阵$B$，则检查二次稳定性所需的LMI约束数量就会减少。这可以通过在系统输入端添加Apkarian滤波器来实现。

优化问题

Apkarian滤波器

考虑我们的TS-LIA模型。这可以线性化为

${\dot {x}}=A(z(t))x+B(z(t))u$

滤波器应使得状态的平衡点为输入值，并且动力学应足够快，因此我们可以假设滤波器的动力学可以忽略不计（即，滤波器的输入等效于四旋翼的输入）。一种可能的滤波器如下所示，其中$A_{F}$ = −100$I_{4}$，$B_{F}$ = 100$I_{4}$ 且 $I_{4}$ ∈ $R^{4\times 4}$ 是单位矩阵。

${\dot {x_{F}}}=A_{F}x_{F}+B_{F}u_{F};y_{f}=x_{f}$.

应用滤波器时，我们要求滤波器的输出成为TS-LIA模型的新输入（即$u$ = $y_{F}$）。然后，扩展模型为

${\dot {x_{c}}}={\begin{bmatrix}A(z(t))&B(z(t))\\0&A_{F}\\\end{bmatrix}}x_{c}+{\begin{bmatrix}0\\B_{F}\end{bmatrix}}u_{F}=A_{e}(z(t))x_{e}+B_{e}u_{f};x_{e}={\begin{bmatrix}x\\x_{F}\end{bmatrix}}$

此预滤波不影响获得TS-LIA模型的过程，因此前提变量、隶属函数和激活函数保持不变。

状态反馈控制器设计

考虑扩展TS-LIA模型的状态反馈控制律：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}u_{F}]$，其中状态反馈控制律为：$u_{F}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))K_{i}x(t)$，得到闭环系统：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}\sum _{j=1}^{32}h_{j}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}K_{j}]x_{e}$

LMI

控制器的设计是通过解决一个涉及二次稳定性约束的LMI问题来完成的。如果我们想要D稳定化，则需要以下LMI约束集

$L\otimes P+M\otimes P(A_{ei}+B_{e}K_{i})+MT\otimes (A_{e}i+B_{e}K_{i})^{T}P<0$ ∀i = 1, . . . , 32。

结论

LMI是可行的。

参考文献

• Control, A. (2016). 使用Takagi-Sugeno方法的四旋翼增益调度控制。