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基本矩阵符号

考虑复矩阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ .

A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{n\times m}

矩阵的转置

$A$ 的转置，记为 $A^{T}$ 或 $A'$ 为

A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

矩阵的伴随

$A$ 的伴随或厄米共轭，记为 $A^{*}$ 为

A^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}^{*}&\dots &a_{n1}^{*}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}^{*}&\dots &a_{nm}^{*}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

其中 $a_{nm}^{*}$ 是矩阵元素 $a_{nm}$ 的复共轭。

注意，对于一个实矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ， $A^{*}=A^{T}$ .

Hermitian 矩阵、自伴矩阵和对称矩阵

一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被称为 Hermitian 矩阵或自伴矩阵，如果 $A=A^{*}$ .

如果 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是 Hermitian 矩阵，那么它被称为对称矩阵。

酉矩阵

一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 被称为酉矩阵，如果 $A^{*}=A^{-1}$ 或 $A^{*}A=I$ .