控制中的LMI/pages/CT-SOFS

控制中的LMI/pages/CT-SOFS

从应用的角度来看，对整个状态进行静态反馈通常是不可行的：只有几个状态变量（或它们的线性组合，$y=Cx(t)$，称为输出）可以实际测量并重新注入系统。
因此，我们引入了静态输出反馈的概念

系统

考虑具有广义状态空间实现的连续时间LTI系统$(A,B,C,0)$

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

数据

• $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$

• $x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{p},u\in \mathbb {R} ^{m}$

优化问题

如果存在一个矩阵F，使得闭环系统
${\dot {x}}=(A-BKC)x$
（通过替换$u=-Ky$，这意味着应用静态输出反馈）
在原点渐近稳定，那么该系统就是静态输出反馈可稳定（SOFS）的。

LMI：连续时间LMI - 静态输出反馈稳定性

当且仅当系统满足以下任一条件时，该系统就是静态输出反馈可稳定的。

• 存在一个$K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$和$P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中$P>0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA-PBB^{T}P&PB+C^{T}K^{T}\\KC+B^{T}P&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一个 $K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ-QC^{T}CQ&BK+QC^{T}\\CQ^{T}+K^{T}B^{T}&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一个 $K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ-BB^{T}&B+QC^{T}K^{T}\\B^{T}+KCQ^{T}&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

• 存在一个$K\in \mathbb {R} ^{m\times p}$和$P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中$P>0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA-C^{T}C&PBK+C^{T}\\K^{T}B^{T}P&-1\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

结论

在使用 YALMIP 和 MOSEK（或）SeDuMi 对上述 LMI 进行实现和优化时，我们将获得 2 个输出矩阵，其中一个是对称矩阵 $P$（或 $Q$）和 $K$

实现

一个指向 Github 存储库中此问题简单实现的 Matlab 代码的链接

https://github.com/yashgvd/LMI_wikibooks

相关 LMI

离散时间静态输出反馈稳定性
静态反馈稳定性

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计和应用中的LMI
• 最优和鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI清单。
• D. d. S. Madeira和J. Adamy，“静态输出反馈：基于被动性指标的稳定性LMI条件”，2016年IEEE控制应用会议（CCA），布宜诺斯艾利斯，2016年，第960-965页。