控制中的 LMI / 页面 / 连续时间二次稳定性

控制中的 LMI / 页面 / 连续时间二次稳定性

为了研究 LTI 系统的稳定性，我们首先要问系统的所有轨迹是否都收敛于零， $t\rightarrow \infty$。 一个充分条件是存在一个二次函数 $V(\xi )=\xi ^{T}P\xi$， $P>0$， 沿着系统的每一个非零轨迹递减。 如果存在这样的 P，我们就说系统是二次稳定的，我们称 $V$ 为一个二次李雅普诺夫函数。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(\delta (t))x(t)\\\end{aligned}}$

数据

系统系数矩阵采用以下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t)\\\end{aligned}}$

其中 $A_{0}\in \mathbb {R}$ 是一个已知矩阵，表示名义系统矩阵，而 ${\begin{aligned}\Delta A(\delta (t))x(t)=\delta _{1}(t))A_{1}+\delta _{2}(t))A_{2}+...+\delta _{k}(t))A_{k}\end{aligned}}$ 是系统矩阵扰动，其中

$A_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n},i=1,2,..,k,$ 是已知矩阵，表示扰动矩阵。

$\delta _{i}(t),i=1,2,...,k,$ 表示系统中的不确定参数。

$\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]^{T}$ 是不确定参数向量，通常假设它在一个特定的紧致凸集 : : $\Delta$ 内，即

$\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta ]^{T}\in \Delta$

LMI： 连续时间二次稳定性

当且仅当存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))^{T}+P(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))<0\delta (t)\in \Delta \end{aligned}}$

对于特定的扰动集合，可以做出以下陈述。

情况 1：规则多面体

考虑扰动参数集合由规则多面体定义的情况，如

${\begin{aligned}\Delta ={\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]\in \mathbb {R} ^{k}\mid \delta _{i}(t),{\underline {\delta _{i}}}(t),{\overline {\delta _{i}}}(t),{\underline {\delta _{i}}}\leq \delta _{i}(t)\leq {\overline {\delta _{i})}}}\end{aligned}}$

当且仅当存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))^{T}+P(A_{0}+\Delta A(\delta (t))x(t))<0\delta _{i}(t)\in {{\underline {\delta _{i}}},{\overline {\delta _{i}}}},i=1,2,...k.\end{aligned}}$

情况 2：多面体

考虑扰动参数集由多面体定义的情况，如

${\begin{aligned}\Delta ={\delta (t)=[\delta _{1}(t)\delta _{2}(t)...\delta _{k}(t)]\in \mathbb {R} ^{k}\mid \delta _{i}(t)\in \mathbb {R} _{\geq 0}},\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}(t)=1\end{aligned}}$

当且仅当存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$，其中 $P>0,$，使得

${\begin{aligned}(A_{0}+A_{i})^{T}P+P(A_{0}+A_{i})<0,i=1,2...,k.\end{aligned}}$

结论

如果可行，则系统对任何$x\in \mathbb {R} ^{n}$

实现

https://github.com/Ricky-10/coding107/blob/master/PolytopicUncertainities

外部链接

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 撰写的关于控制中的 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 撰写的 LMI 列表。