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切换系统的 D 稳定性控制器

这个 LMI 允许您指定所需的性能指标，如上升时间、稳定时间和过冲百分比。请注意，在稳定系统之间任意切换会导致不稳定，而可以在各个不稳定的系统之间进行切换以实现稳定性。

系统

假设我们得到了一个切换系统，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$ 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$。

$i\in 1,...,k$ 操作模式

数据

为了正确定义复平面上极点可接受区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A_{i}$，$B_{i}$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 过冲百分比 ($M_{p}$)

有了这些信息，我们就可以开始制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。我们首先必须使用以下不等式约束定义复平面上极点可以位于的接受区域

上升时间: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复极点位置，则

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这样，我们就可以将不等式约束修改为

上升时间: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅让我们能够映射复极点位置和不等式约束之间的关系，而且还使我们能够轻松地为这个问题制定 LMI。

LMI：二次 D 稳定性 LMI

假设存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0\\A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

对于 $i=1,...,k$

结论

得到的控制器可以通过以下公式恢复：

$K=ZP^{-1}$.

实现

此 LMI 的实现需要 Yalmip 和 Sedumi /MOSEK[1]

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 控制的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。