控制中的 LMI/pages/DARE

系统

考虑一个离散时间 LTI 系统

{\begin{aligned}x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k}\end{aligned}}

{\begin{aligned}y_{k}=C_{d}x_{k}\end{aligned}}

考虑 A_d ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^nxn ; B_d ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^nxm

矩阵 A_d , B_d , C_d , Q, R 给定

Q 和 R 必须是厄米特矩阵。

如果方阵等于其复共轭转置，则该矩阵为厄米特矩阵。

我们的目标是找到

P - 离散时间代数 Riccati 方程的唯一解，以矩阵形式返回。

K - 状态反馈增益，以矩阵形式返回。

用于评估状态反馈增益的算法由以下公式给出

{\begin{aligned}K=(R+B_{d}^{T}PB_{d})^{-1}B_{d}^{T}PA_{d}\end{aligned}}

L - 闭环特征值，以矩阵形式返回。

代数 Riccati 方程是一种非线性方程，它出现在连续时间或离散时间的无限时间范围最优控制问题中。

离散时间代数 Riccati 不等式由以下公式给出

{\begin{aligned}A_{d}^{T}PA_{d}-A_{d}^{T}PB_{d}(R+B_{d}^{T}PB_{d})^{-1}B_{d}^{T}PA_{d}+Q-P\geq 0\end{aligned}}

P , Q ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ ⁿ 且 R ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ ^m，其中 P > 0, Q ≥ 0, R > 0

P 是一个未知的 n×n 对称矩阵，A, B, Q, R 是已知的实系数矩阵。

上述方程可以使用 Schur 补引理改写为：

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P+Q&A_{d}^{T}PB_{d}\\B_{d}^{T}PA_{d}&R+B_{d}^{T}PB_{d}\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}\geq 0\end{aligned}}

代数Riccati不等式在LQR/LQG控制、H2和H∞控制以及卡尔曼滤波中起着关键作用。我们试图找到唯一的稳定解（如果存在）。如果系统的控制器使闭环系统稳定，则该解是稳定的。

等效地，这个离散时间代数Riccati不等式在以下充分必要条件下成立：

{\begin{bmatrix}Q&0&A_{d}^{T}P&P\\0&R&B_{d}^{T}P&0\\PA_{d}&PB_{d}&P&0\\P&0&0&P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}\geq 0\end{aligned}}

( X 在输出中对应于 P 在LMI中 )

Github 仓库中一个简单的此问题实施的 Matlab 代码链接

文档化和验证 LMI 的参考文献列表。