控制中的LMI/pages/DT-SOFS

静态输出反馈 (SOF) 问题已被许多人研究和分析，关于该主题的文献非常多。在实践中，并非总能完全访问状态向量，只有通过测量的输出才能获得部分信息。这解释了为什么这个问题挑战了控制理论中的许多研究人员。
以下是如何对离散时间线性系统的 SOF 控制设计进行系统性方法。

系统

考虑一个离散时间 LTI 系统，其状态空间实现为 $(Ad,Bd,Cd,0)$ ,

{\begin{aligned}x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k}\\y_{k}=C_{d}x_{k}\end{aligned}}

$x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态， $y_{k}\in \mathbb {R} ^{p}$ 是测量的输出， $u_{k}\in \mathbb {R} ^{m}$ 是控制输入。

$A_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times n},B_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times m},C_{d}\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 是适当维度的常数矩阵。

无法测量整个状态，只能通过 $y_{k}$ 获得部分信息，该信息可用于控制目的。

我们必须找到一个关于以下内容的静态输出反馈增益：

u_{k}=-K_{d}y_{k},

其中 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 是输出反馈增益，使得最终的闭环系统渐近稳定。

考虑的离散时间系统在以下任何等效的必要或充分条件下都是静态输出反馈可稳定化的。

存在一个 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ ，其中 $P>0$ ，使得

{\begin{bmatrix}-P&(A_{d}+B_{d}K_{d}C_{d})P\\((A_{d}+B_{d}K_{d}C_{d})P)'&-P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}.

存在一个 $K_{d}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$ 和 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ ，其中 $P>0$ ，使得

{\begin{bmatrix}-A_{d}PPA_{d}^{T}&A_{d}P+B_{d}K_{d}C_{d}&A_{d}P\\(A_{d}P+B_{d}K_{d}C_{d})'&-1&0\\PA_{d}^{T}&0&-P\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}.

如果可行，我们就可以得到一个输出反馈增益矩阵 $K_{d}$ ，使得闭环系统渐进稳定。
在实现优化问题时，假设满足以下条件

一个在 Github 仓库中对这个问题进行简单实现的 Matlab 代码链接

[1] - 控制系统分析、设计和应用中的 LMI
控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 开设的关于控制中 LMI 的课程。
LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
Garcia, G., Pradin, B., & Zeng, F. (2001). 静态输出反馈稳定离散时间线性系统。IEEE 自动控制汇刊, 46(12), 1954–1958。doi:10.1109/9.975499