控制中的 LMI / 页面 / 具有前馈的离散时间 KYP 引理

概念

引理假设状态空间表示 (A_d, B_d, C_d, D_d) 是最小的。那么传递函数 C_d(SI − A_d)^-1B_d + D_d 的正实性 (PR) 等同于本页给出的 LMI 集的可解性。现在考虑以下标量示例，其中 (A_d, B_d, C_d, D_d)=(−α, 0, 0, 1)，其中 α > 0。传递函数为 H(s) = 0，它是 PR

系统

考虑一个离散时间 LTI 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$，具有最小的状态空间实现 $({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$，其中 ${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

$x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)$

$y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...$

数据

矩阵 ${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}$

LMI：带前馈的离散时间KYP引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下任一等效必要和充分条件下都是正实（PR）的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq 0.$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}QA_{d}^{T}-Q&A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d}\\(A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d})^{T}&C_{d}PC_{d}^{T}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq 0.$

3. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}P&PA_{d}&PB_{d}\\(PA_{d})^{T}&P&C_{d}^{T}\\(PB_{d})^{T}&C_{d}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}\geq 0.$

4. 存在一个 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}Q&A_{d}Q&B_{d}\\(A_{d}Q)^{T}&Q&QC_{d}^{T}\\(B_{d})^{T}&(QC_{d}^{T})^{T}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}\geq 0.$

这是针对 QSR 耗散系统的 *KYP* 引理的特例，其中 **Q = 0，Q = 0.5** 且 **R = 0**。

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下任一充分必要条件下为严格正实 (SPR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}<0.$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}QA_{d}^{T}-Q&A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d}\\(A_{d}QC_{d}^{T}-B_{d})^{T}&C_{d}PC_{d}^{T}-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}<0.$

3. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}P&PA_{d}&PB_{d}\\(PA_{d})^{T}&P&C_{d}^{T}\\(PB_{d})^{T}&C_{d}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}>0.$

4. 存在一个 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{bmatrix}Q&A_{d}Q&B_{d}\\(A_{d}Q)^{T}&Q&QC_{d}^{T}\\(B_{d})^{T}&(QC_{d}^{T})^{T}&D_{d}^{T}+D_{d}\end{bmatrix}}>0.$

这是一个具有 **Q = ε1, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系统的 KYP 引理的特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

结论

如果存在正定 $P$ 用于所选的 **Q,S** 和 **R** 矩阵，则系统 ${\mathcal {G}}$ 是 **正实** 的。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

相关 LMI

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没有馈通的 KYP 引理

参考文献

1. J. C. Willems，“耗散动力系统 - 第一部分：一般理论”，《理性力学与分析档案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性耗散系统的稳定性”，《IEEE 自动控制学报》，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 页，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，《系统、稳定性和控制理论中的 LMI 特性和应用》
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O.（2007）Kalman-Yakubovich-Popov 引理。载：耗散系统分析与控制。通信与控制工程。施普林格，伦敦