控制中的 LMI / pages / 无馈通离散时间 KYP 引理

概念

该引理假设状态空间表示(A, B, C, D)是最小的。然后，传递函数C(SI − A)^-1B + D的正实性 (PR) 等效于本页给出的 LMI 集的可解性。现在考虑以下标量示例，其中(A, B, C, D)=(−α, 0, 0, 1)，其中α > 0。传递函数为H(s) = 0，它是 PR

系统

考虑一个连续时间 LTI 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的状态空间实现(A, B, C, 0)，其中${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},$ 和 ${\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{m\times n},$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 矩阵 $A,B$ 和 $C$

LMI : 无馈通 KYP 引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下等效的必要和充分条件中的任何一个条件下都是正实的 (PR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P\geq 0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}\geq 0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

这是针对具有 **Q = 0, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系统的 KYP 引理的一个特例。

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下任何一个等效的必要和充分条件下都是严格正实 (SPR) 的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P<0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}<0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

这是针对具有 **Q = ε1, Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 耗散系统的 KYP 引理的一个特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

结论

如果对于选择的 **Q, S** 和 **R** 矩阵存在一个正定的 $P$，那么系统 ${\mathcal {G}}$ 是 **正实** 的。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

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参考文献

1. J. C. Willems, “Dissipative dynamical systems - part I: General theory,” Archive Rational Mechanics and Analysis, vol. 45, no. 5, pp. 321–351, 1972.
2. D. J. Hill and P. J. Moylan, “The stability of nonlinear dissipative systems,” IEEE Transac- tions on Automatic Control, vol. 21, no. 5, pp. 708–711, 1976.
3. LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory, by Ryan James Caverly1 and James Richard Forbes2
4. Brogliato B., Maschke B., Lozano R., Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov Lemma. In: Dissipative Systems Analysis and Control. Communications and Control Engineering. Springer, London